Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50730 / 48579
↖ ↑ ↗
← S 65.226800°
E 98.668213°		 ← 255.96 m → S 65.226800°
E 98.673706°		 →
↑
255.99 m
↓
↑
255.99 m
↓
S 65.229102°
E 98.668213°		 ← 255.94 m →
65 520 m²		 S 65.229102°
E 98.673706°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50730 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48579 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.774085998535156 y=0.741264343261719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.774085998535156 × 216)
    floor (0.774085998535156 × 65536)
    floor (50730.5)     		tx = 50730
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.741264343261719 × 216)
    floor (0.741264343261719 × 65536)
    floor (48579.5)     		ty = 48579
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50730 / 48579 ti = "16/50730/48579"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50730/48579.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50730 ÷ 216
    50730 ÷ 65536     		x = 0.774078369140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48579 ÷ 216
    48579 ÷ 65536     		y = 0.741256713867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.774078369140625 × 2 - 1) × π
    0.54815673828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.72208518
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.741256713867188 × 2 - 1) × π
    -0.482513427734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.51586063978542
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72208518} λ = 1.72208518}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51586063978542))-π/2
    2×atan(0.219619090561427)-π/2
    2×0.216186951417461-π/2
    0.432373902834921-1.57079632675     		φ = -1.13842242
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72208518} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.668213°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13842242 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.226800°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50730 KachelY 48579 1.72208518 -1.13842242 98.668213 -65.226800
    Oben rechts KachelX + 1 50731 KachelY 48579 1.72218106 -1.13842242 98.673706 -65.226800
    Unten links KachelX 50730 KachelY + 1 48580 1.72208518 -1.13846260 98.668213 -65.229102
    Unten rechts KachelX + 1 50731 KachelY + 1 48580 1.72218106 -1.13846260 98.673706 -65.229102
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13842242--1.13846260) × R
    4.01800000000563e-05 × 6371000     		dl = 255.986780000359m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13842242--1.13846260) × R
    4.01800000000563e-05 × 6371000     		dr = 255.986780000359m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72208518-1.72218106) × cos(-1.13842242) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.419027425748718 × 6371000     		do = 255.963523179027m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72208518-1.72218106) × cos(-1.13846260) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.41899094303216 × 6371000     		du = 255.941237657623m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13842242)-sin(-1.13846260))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.419027425748718-0.41899094303216)×R²
    abs(1.72218106-1.72208518)×3.64827165584836e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.64827165584836e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.64827165584836e-05×40589641000000     		ar = 65520.4257055855m²