Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50728 / 48953
↖ ↑ ↗
← S 66.073774°
E 98.657226°		 ← 247.74 m → S 66.073774°
E 98.662720°		 →
↑
247.70 m
↓
↑
247.70 m
↓
S 66.076002°
E 98.657226°		 ← 247.72 m →
61 363 m²		 S 66.076002°
E 98.662720°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50728 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48953 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.774055480957031 y=0.746971130371094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.774055480957031 × 216)
    floor (0.774055480957031 × 65536)
    floor (50728.5)     		tx = 50728
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.746971130371094 × 216)
    floor (0.746971130371094 × 65536)
    floor (48953.5)     		ty = 48953
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50728 / 48953 ti = "16/50728/48953"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50728/48953.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50728 ÷ 216
    50728 ÷ 65536     		x = 0.7740478515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48953 ÷ 216
    48953 ÷ 65536     		y = 0.746963500976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7740478515625 × 2 - 1) × π
    0.548095703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.72189343
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.746963500976562 × 2 - 1) × π
    -0.493927001953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.55171744070122
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72189343} λ = 1.72189343}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55171744070122))-π/2
    2×atan(0.211883763362203)-π/2
    2×0.208795707166426-π/2
    0.417591414332853-1.57079632675     		φ = -1.15320491
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72189343} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.657226°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15320491 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.073774°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50728 KachelY 48953 1.72189343 -1.15320491 98.657226 -66.073774
    Oben rechts KachelX + 1 50729 KachelY 48953 1.72198931 -1.15320491 98.662720 -66.073774
    Unten links KachelX 50728 KachelY + 1 48954 1.72189343 -1.15324379 98.657226 -66.076002
    Unten rechts KachelX + 1 50729 KachelY + 1 48954 1.72198931 -1.15324379 98.662720 -66.076002
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15320491--1.15324379) × R
    3.88800000001854e-05 × 6371000     		dl = 247.704480001181m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15320491--1.15324379) × R
    3.88800000001854e-05 × 6371000     		dr = 247.704480001181m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72189343-1.72198931) × cos(-1.15320491) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.405560021735284 × 6371000     		do = 247.736939506242m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72189343-1.72198931) × cos(-1.15324379) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.405524482448753 × 6371000     		du = 247.715230280466m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15320491)-sin(-1.15324379))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.405560021735284-0.405524482448753)×R²
    abs(1.72198931-1.72189343)×3.5539286530939e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.5539286530939e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.5539286530939e-05×40589641000000     		ar = 61362.8610491265m²