Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50727 / 48556
↖ ↑ ↗
← S 65.173806°
E 98.651733°		 ← 256.45 m → S 65.173806°
E 98.657226°		 →
↑
256.43 m
↓
↑
256.43 m
↓
S 65.176112°
E 98.651733°		 ← 256.43 m →
65 759 m²		 S 65.176112°
E 98.657226°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50727 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48556 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.774040222167969 y=0.740913391113281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.774040222167969 × 216)
    floor (0.774040222167969 × 65536)
    floor (50727.5)     		tx = 50727
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.740913391113281 × 216)
    floor (0.740913391113281 × 65536)
    floor (48556.5)     		ty = 48556
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50727 / 48556 ti = "16/50727/48556"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50727/48556.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50727 ÷ 216
    50727 ÷ 65536     		x = 0.774032592773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48556 ÷ 216
    48556 ÷ 65536     		y = 0.74090576171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.774032592773438 × 2 - 1) × π
    0.548065185546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.72179756
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74090576171875 × 2 - 1) × π
    -0.4818115234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.51365554240289
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72179756} λ = 1.72179756}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51365554240289))-π/2
    2×atan(0.220103906379772)-π/2
    2×0.216649412295717-π/2
    0.433298824591434-1.57079632675     		φ = -1.13749750
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72179756} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.651733°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13749750 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.173806°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50727 KachelY 48556 1.72179756 -1.13749750 98.651733 -65.173806
    Oben rechts KachelX + 1 50728 KachelY 48556 1.72189343 -1.13749750 98.657226 -65.173806
    Unten links KachelX 50727 KachelY + 1 48557 1.72179756 -1.13753775 98.651733 -65.176112
    Unten rechts KachelX + 1 50728 KachelY + 1 48557 1.72189343 -1.13753775 98.657226 -65.176112
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13749750--1.13753775) × R
    4.02499999998529e-05 × 6371000     		dl = 256.432749999063m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13749750--1.13753775) × R
    4.02499999998529e-05 × 6371000     		dr = 256.432749999063m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72179756-1.72189343) × cos(-1.13749750) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.419867049315637 × 6371000     		do = 256.449658747972m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72179756-1.72189343) × cos(-1.13753775) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.419830518654264 × 6371000     		du = 256.427346266776m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13749750)-sin(-1.13753775))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.419867049315637-0.419830518654264)×R²
    abs(1.72189343-1.72179756)×3.65306613729355e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.65306613729355e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.65306613729355e-05×40589641000000     		ar = 65759.2304124539m²