Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50725 / 48557
↖ ↑ ↗
← S 65.176112°
E 98.640747°		 ← 256.45 m → S 65.176112°
E 98.646240°		 →
↑
256.43 m
↓
↑
256.43 m
↓
S 65.178418°
E 98.640747°		 ← 256.43 m →
65 760 m²		 S 65.178418°
E 98.646240°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50725 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48557 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.774009704589844 y=0.740928649902344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.774009704589844 × 216)
    floor (0.774009704589844 × 65536)
    floor (50725.5)     		tx = 50725
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.740928649902344 × 216)
    floor (0.740928649902344 × 65536)
    floor (48557.5)     		ty = 48557
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50725 / 48557 ti = "16/50725/48557"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50725/48557.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50725 ÷ 216
    50725 ÷ 65536     		x = 0.774002075195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48557 ÷ 216
    48557 ÷ 65536     		y = 0.740921020507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.774002075195312 × 2 - 1) × π
    0.548004150390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.72160581
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.740921020507812 × 2 - 1) × π
    -0.481842041015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.51375141620213
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72160581} λ = 1.72160581}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51375141620213))-π/2
    2×atan(0.220082805193581)-π/2
    2×0.216629286046864-π/2
    0.433258572093727-1.57079632675     		φ = -1.13753775
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72160581} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.640747°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13753775 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.176112°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50725 KachelY 48557 1.72160581 -1.13753775 98.640747 -65.176112
    Oben rechts KachelX + 1 50726 KachelY 48557 1.72170169 -1.13753775 98.646240 -65.176112
    Unten links KachelX 50725 KachelY + 1 48558 1.72160581 -1.13757800 98.640747 -65.178418
    Unten rechts KachelX + 1 50726 KachelY + 1 48558 1.72170169 -1.13757800 98.646240 -65.178418
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13753775--1.13757800) × R
    4.02500000000749e-05 × 6371000     		dl = 256.432750000477m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13753775--1.13757800) × R
    4.02500000000749e-05 × 6371000     		dr = 256.432750000477m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72160581-1.72170169) × cos(-1.13753775) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.419830518654264 × 6371000     		do = 256.454093668957m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72160581-1.72170169) × cos(-1.13757800) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.419793987312739 × 6371000     		du = 256.43177844492m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13753775)-sin(-1.13757800))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.419830518654264-0.419793987312739)×R²
    abs(1.72170169-1.72160581)×3.65313415247592e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.65313415247592e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.65313415247592e-05×40589641000000     		ar = 65760.3673201348m²