Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50724 / 48559
↖ ↑ ↗
← S 65.180724°
E 98.635254°		 ← 256.38 m → S 65.180724°
E 98.640747°		 →
↑
256.37 m
↓
↑
256.37 m
↓
S 65.183030°
E 98.635254°		 ← 256.36 m →
65 726 m²		 S 65.183030°
E 98.640747°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50724 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48559 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.773994445800781 y=0.740959167480469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.773994445800781 × 216)
    floor (0.773994445800781 × 65536)
    floor (50724.5)     		tx = 50724
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.740959167480469 × 216)
    floor (0.740959167480469 × 65536)
    floor (48559.5)     		ty = 48559
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50724 / 48559 ti = "16/50724/48559"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50724/48559.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50724 ÷ 216
    50724 ÷ 65536     		x = 0.77398681640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48559 ÷ 216
    48559 ÷ 65536     		y = 0.740951538085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77398681640625 × 2 - 1) × π
    0.5479736328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.72150994
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.740951538085938 × 2 - 1) × π
    -0.481903076171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.51394316380061
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72150994} λ = 1.72150994}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51394316380061))-π/2
    2×atan(0.220040608889868)-π/2
    2×0.216589038802684-π/2
    0.433178077605367-1.57079632675     		φ = -1.13761825
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72150994} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.635254°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13761825 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.180724°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50724 KachelY 48559 1.72150994 -1.13761825 98.635254 -65.180724
    Oben rechts KachelX + 1 50725 KachelY 48559 1.72160581 -1.13761825 98.640747 -65.180724
    Unten links KachelX 50724 KachelY + 1 48560 1.72150994 -1.13765849 98.635254 -65.183030
    Unten rechts KachelX + 1 50725 KachelY + 1 48560 1.72160581 -1.13765849 98.640747 -65.183030
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13761825--1.13765849) × R
    4.02399999999137e-05 × 6371000     		dl = 256.36903999945m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13761825--1.13765849) × R
    4.02399999999137e-05 × 6371000     		dr = 256.36903999945m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72150994-1.72160581) × cos(-1.13761825) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.419757455291122 × 6371000     		do = 256.382720058133m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72150994-1.72160581) × cos(-1.13765849) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.419720931666003 × 6371000     		du = 256.360411874595m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13761825)-sin(-1.13765849))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.419757455291122-0.419720931666003)×R²
    abs(1.72160581-1.72150994)×3.65236251183565e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.65236251183565e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.65236251183565e-05×40589641000000     		ar = 65725.7322589101m²