Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 50723 / 52707
↖ ↑ ↗
← N 33.204223°
W 40.685119°		 ← 255.50 m → N 33.204223°
W 40.682373°		 →
↑
255.54 m
↓
↑
255.54 m
↓
N 33.201924°
W 40.685119°		 ← 255.51 m →
65 292 m²		 N 33.201924°
W 40.682373°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50723 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52707 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.386989593505859 y=0.402126312255859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.386989593505859 × 217)
    floor (0.386989593505859 × 131072)
    floor (50723.5)     		tx = 50723
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.402126312255859 × 217)
    floor (0.402126312255859 × 131072)
    floor (52707.5)     		ty = 52707
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 50723 / 52707 ti = "17/50723/52707"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/50723/52707.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50723 ÷ 217
    50723 ÷ 131072     		x = 0.386985778808594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52707 ÷ 217
    52707 ÷ 131072     		y = 0.402122497558594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.386985778808594 × 2 - 1) × π
    -0.226028442382812 × 3.1415926535     		Λ = -0.71008929
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.402122497558594 × 2 - 1) × π
    0.195755004882812 × 3.1415926535     		Φ = 0.6149824852257
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.71008929} λ = -0.71008929}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.6149824852257))-π/2
    2×atan(1.84962420352416)-π/2
    2×1.07515966618414-π/2
    2.15031933236829-1.57079632675     		φ = 0.57952301
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.71008929} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -40.685119°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.57952301 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 33.204223°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50723 KachelY 52707 -0.71008929 0.57952301 -40.685119 33.204223
    Oben rechts KachelX + 1 50724 KachelY 52707 -0.71004136 0.57952301 -40.682373 33.204223
    Unten links KachelX 50723 KachelY + 1 52708 -0.71008929 0.57948290 -40.685119 33.201924
    Unten rechts KachelX + 1 50724 KachelY + 1 52708 -0.71004136 0.57948290 -40.682373 33.201924
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.57952301-0.57948290) × R
    4.01099999999266e-05 × 6371000     		dl = 255.540809999532m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.57952301-0.57948290) × R
    4.01099999999266e-05 × 6371000     		dr = 255.540809999532m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.71008929--0.71004136) × cos(0.57952301) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.836723956687122 × 6371000     		do = 255.503725963768m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.71008929--0.71004136) × cos(0.57948290) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.836745921248394 × 6371000     		du = 255.510433106786m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.57952301)-sin(0.57948290))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.836723956687122-0.836745921248394)×R²
    abs(-0.71004136--0.71008929)×2.19645612720143e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.19645612720143e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.19645612720143e-05×40589641000000     		ar = 65292.4860737105m²