Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50722 / 48562
↖ ↑ ↗
← S 65.187641°
E 98.624267°		 ← 256.34 m → S 65.187641°
E 98.629761°		 →
↑
256.37 m
↓
↑
256.37 m
↓
S 65.189946°
E 98.624267°		 ← 256.32 m →
65 715 m²		 S 65.189946°
E 98.629761°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50722 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48562 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.773963928222656 y=0.741004943847656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.773963928222656 × 216)
    floor (0.773963928222656 × 65536)
    floor (50722.5)     		tx = 50722
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.741004943847656 × 216)
    floor (0.741004943847656 × 65536)
    floor (48562.5)     		ty = 48562
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50722 / 48562 ti = "16/50722/48562"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50722/48562.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50722 ÷ 216
    50722 ÷ 65536     		x = 0.773956298828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48562 ÷ 216
    48562 ÷ 65536     		y = 0.740997314453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.773956298828125 × 2 - 1) × π
    0.54791259765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.72131819
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.740997314453125 × 2 - 1) × π
    -0.48199462890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.51423078519833
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72131819} λ = 1.72131819}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51423078519833))-π/2
    2×atan(0.219977329603059)-π/2
    2×0.216528681068433-π/2
    0.433057362136866-1.57079632675     		φ = -1.13773896
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72131819} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.624267°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13773896 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.187641°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50722 KachelY 48562 1.72131819 -1.13773896 98.624267 -65.187641
    Oben rechts KachelX + 1 50723 KachelY 48562 1.72141407 -1.13773896 98.629761 -65.187641
    Unten links KachelX 50722 KachelY + 1 48563 1.72131819 -1.13777920 98.624267 -65.189946
    Unten rechts KachelX + 1 50723 KachelY + 1 48563 1.72141407 -1.13777920 98.629761 -65.189946
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13773896--1.13777920) × R
    4.02399999999137e-05 × 6371000     		dl = 256.36903999945m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13773896--1.13777920) × R
    4.02399999999137e-05 × 6371000     		dr = 256.36903999945m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72131819-1.72141407) × cos(-1.13773896) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.419647891453786 × 6371000     		do = 256.342535573257m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72131819-1.72141407) × cos(-1.13777920) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.419611365790105 × 6371000     		du = 256.320223817539m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13773896)-sin(-1.13777920))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.419647891453786-0.419611365790105)×R²
    abs(1.72141407-1.72131819)×3.65256636810085e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.65256636810085e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.65256636810085e-05×40589641000000     		ar = 65715.4297432857m²