Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 50721 / 52641
↖ ↑ ↗
← N 33.355768°
W 40.690613°		 ← 255.11 m → N 33.355768°
W 40.687866°		 →
↑
255.09 m
↓
↑
255.09 m
↓
N 33.353474°
W 40.690613°		 ← 255.12 m →
65 079 m²		 N 33.353474°
W 40.687866°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50721 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52641 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.386974334716797 y=0.401622772216797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.386974334716797 × 217)
    floor (0.386974334716797 × 131072)
    floor (50721.5)     		tx = 50721
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.401622772216797 × 217)
    floor (0.401622772216797 × 131072)
    floor (52641.5)     		ty = 52641
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 50721 / 52641 ti = "17/50721/52641"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/50721/52641.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50721 ÷ 217
    50721 ÷ 131072     		x = 0.386970520019531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52641 ÷ 217
    52641 ÷ 131072     		y = 0.401618957519531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.386970520019531 × 2 - 1) × π
    -0.226058959960938 × 3.1415926535     		Λ = -0.71018517
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.401618957519531 × 2 - 1) × π
    0.196762084960938 × 3.1415926535     		Φ = 0.618146320600624
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.71018517} λ = -0.71018517}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.618146320600624))-π/2
    2×atan(1.85548537701447)-π/2
    2×1.07648214707789-π/2
    2.15296429415578-1.57079632675     		φ = 0.58216797
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.71018517} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -40.690613°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.58216797 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 33.355768°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50721 KachelY 52641 -0.71018517 0.58216797 -40.690613 33.355768
    Oben rechts KachelX + 1 50722 KachelY 52641 -0.71013723 0.58216797 -40.687866 33.355768
    Unten links KachelX 50721 KachelY + 1 52642 -0.71018517 0.58212793 -40.690613 33.353474
    Unten rechts KachelX + 1 50722 KachelY + 1 52642 -0.71013723 0.58212793 -40.687866 33.353474
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.58216797-0.58212793) × R
    4.00400000000189e-05 × 6371000     		dl = 255.094840000121m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.58216797-0.58212793) × R
    4.00400000000189e-05 × 6371000     		dr = 255.094840000121m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.71018517--0.71013723) × cos(0.58216797) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.835272585665898 × 6371000     		do = 255.113747579144m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.71018517--0.71013723) × cos(0.58212793) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.835294600432717 × 6371000     		du = 255.120471455591m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.58216797)-sin(0.58212793))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.835272585665898-0.835294600432717)×R²
    abs(-0.71013723--0.71018517)×2.20147668187343e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.20147668187343e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.20147668187343e-05×40589641000000     		ar = 65079.0582422979m²