Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50721 / 48604
↖ ↑ ↗
← S 65.284283°
E 98.618775°		 ← 255.38 m → S 65.284283°
E 98.624267°		 →
↑
255.35 m
↓
↑
255.35 m
↓
S 65.286579°
E 98.618775°		 ← 255.36 m →
65 208 m²		 S 65.286579°
E 98.624267°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50721 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48604 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.773948669433594 y=0.741645812988281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.773948669433594 × 216)
    floor (0.773948669433594 × 65536)
    floor (50721.5)     		tx = 50721
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.741645812988281 × 216)
    floor (0.741645812988281 × 65536)
    floor (48604.5)     		ty = 48604
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50721 / 48604 ti = "16/50721/48604"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50721/48604.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50721 ÷ 216
    50721 ÷ 65536     		x = 0.773941040039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48604 ÷ 216
    48604 ÷ 65536     		y = 0.74163818359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.773941040039062 × 2 - 1) × π
    0.547882080078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.72122232
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74163818359375 × 2 - 1) × π
    -0.4832763671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.51825748476642
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72122232} λ = 1.72122232}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51825748476642))-π/2
    2×atan(0.219093327983883)-π/2
    2×0.215685325649918-π/2
    0.431370651299837-1.57079632675     		φ = -1.13942568
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72122232} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.618775°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13942568 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.284283°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50721 KachelY 48604 1.72122232 -1.13942568 98.618775 -65.284283
    Oben rechts KachelX + 1 50722 KachelY 48604 1.72131819 -1.13942568 98.624267 -65.284283
    Unten links KachelX 50721 KachelY + 1 48605 1.72122232 -1.13946576 98.618775 -65.286579
    Unten rechts KachelX + 1 50722 KachelY + 1 48605 1.72131819 -1.13946576 98.624267 -65.286579
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13942568--1.13946576) × R
    4.00799999999979e-05 × 6371000     		dl = 255.349679999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13942568--1.13946576) × R
    4.00799999999979e-05 × 6371000     		dr = 255.349679999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72122232-1.72131819) × cos(-1.13942568) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.418116281448753 × 6371000     		do = 255.380311146771m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72122232-1.72131819) × cos(-1.13946576) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.418079872700913 × 6371000     		du = 255.358073128869m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13942568)-sin(-1.13946576))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.418116281448753-0.418079872700913)×R²
    abs(1.72131819-1.72122232)×3.64087478396669e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.64087478396669e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.64087478396669e-05×40589641000000     		ar = 65208.4415026571m²