Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 50720 / 52642
↖ ↑ ↗
← N 33.353474°
W 40.693359°		 ← 255.07 m → N 33.353474°
W 40.690613°		 →
↑
255.16 m
↓
↑
255.16 m
↓
N 33.351179°
W 40.693359°		 ← 255.07 m →
65 083 m²		 N 33.351179°
W 40.690613°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50720 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52642 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.386966705322266 y=0.401630401611328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.386966705322266 × 217)
    floor (0.386966705322266 × 131072)
    floor (50720.5)     		tx = 50720
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.401630401611328 × 217)
    floor (0.401630401611328 × 131072)
    floor (52642.5)     		ty = 52642
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 50720 / 52642 ti = "17/50720/52642"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/50720/52642.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50720 ÷ 217
    50720 ÷ 131072     		x = 0.386962890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52642 ÷ 217
    52642 ÷ 131072     		y = 0.401626586914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.386962890625 × 2 - 1) × π
    -0.22607421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.71023310
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.401626586914062 × 2 - 1) × π
    0.196746826171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.618098383701004
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.71023310} λ = -0.71023310}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.618098383701004))-π/2
    2×atan(1.85539643293008)-π/2
    2×1.07646212662497-π/2
    2.15292425324994-1.57079632675     		φ = 0.58212793
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.71023310} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -40.693359°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.58212793 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 33.353474°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50720 KachelY 52642 -0.71023310 0.58212793 -40.693359 33.353474
    Oben rechts KachelX + 1 50721 KachelY 52642 -0.71018517 0.58212793 -40.690613 33.353474
    Unten links KachelX 50720 KachelY + 1 52643 -0.71023310 0.58208788 -40.693359 33.351179
    Unten rechts KachelX + 1 50721 KachelY + 1 52643 -0.71018517 0.58208788 -40.690613 33.351179
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.58212793-0.58208788) × R
    4.00499999999582e-05 × 6371000     		dl = 255.158549999734m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.58212793-0.58208788) × R
    4.00499999999582e-05 × 6371000     		dr = 255.158549999734m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.71023310--0.71018517) × cos(0.58212793) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.835294600432717 × 6371000     		do = 255.067254835739m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.71023310--0.71018517) × cos(0.58208788) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.835316619358082 × 6371000     		du = 255.073978579487m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.58212793)-sin(0.58208788))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.835294600432717-0.835316619358082)×R²
    abs(-0.71018517--0.71023310)×2.20189253649083e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.20189253649083e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.20189253649083e-05×40589641000000     		ar = 65083.4487152347m²