Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5072 / 7178
↖ ↑ ↗
← S 79.253585°
E 42.890625°		 ← 911.15 m → S 79.253585°
E 42.934570°		 →
↑
910.86 m
↓
↑
910.86 m
↓
S 79.261777°
E 42.890625°		 ← 910.46 m →
829 617 m²		 S 79.261777°
E 42.934570°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5072 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7178 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.61920166015625 y=0.87628173828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.61920166015625 × 213)
    floor (0.61920166015625 × 8192)
    floor (5072.5)     		tx = 5072
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.87628173828125 × 213)
    floor (0.87628173828125 × 8192)
    floor (7178.5)     		ty = 7178
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5072 / 7178 ti = "13/5072/7178"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5072/7178.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5072 ÷ 213
    5072 ÷ 8192     		x = 0.619140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7178 ÷ 213
    7178 ÷ 8192     		y = 0.876220703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.619140625 × 2 - 1) × π
    0.23828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.74858262
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.876220703125 × 2 - 1) × π
    -0.75244140625 × 3.1415926535     		Φ = -2.36386439406421
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.74858262} λ = 0.74858262}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.36386439406421))-π/2
    2×atan(0.0940560503531271)-π/2
    2×0.093780156413739-π/2
    0.187560312827478-1.57079632675     		φ = -1.38323601
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.74858262} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 42.890625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38323601 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.253585°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5072 KachelY 7178 0.74858262 -1.38323601 42.890625 -79.253585
    Oben rechts KachelX + 1 5073 KachelY 7178 0.74934961 -1.38323601 42.934570 -79.253585
    Unten links KachelX 5072 KachelY + 1 7179 0.74858262 -1.38337898 42.890625 -79.261777
    Unten rechts KachelX + 1 5073 KachelY + 1 7179 0.74934961 -1.38337898 42.934570 -79.261777
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38323601--1.38337898) × R
    0.000142969999999965 × 6371000     		dl = 910.861869999774m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38323601--1.38337898) × R
    0.000142969999999965 × 6371000     		dr = 910.861869999774m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.74858262-0.74934961) × cos(-1.38323601) × R
    0.000766990000000023 × 0.186462556064473 × 6371000     		do = 911.148029045325m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.74858262-0.74934961) × cos(-1.38337898) × R
    0.000766990000000023 × 0.186322091557394 × 6371000     		du = 910.461650173999m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38323601)-sin(-1.38337898))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186462556064473-0.186322091557394)×R²
    abs(0.74934961-0.74858262)×0.000140464507079219×R²
    0.000766990000000023×0.000140464507079219×6371000²
    0.000766990000000023×0.000140464507079219×40589641000000     		ar = 829617.400825359m²