Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 50719 / 83519
↖ ↑ ↗
← S 44.211741°
W 40.696106°		 ← 218.92 m → S 44.211741°
W 40.693359°		 →
↑
218.91 m
↓
↑
218.91 m
↓
S 44.213710°
W 40.696106°		 ← 218.91 m →
47 922 m²		 S 44.213710°
W 40.693359°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50719 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83519 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.386959075927734 y=0.637203216552734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.386959075927734 × 217)
    floor (0.386959075927734 × 131072)
    floor (50719.5)     		tx = 50719
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.637203216552734 × 217)
    floor (0.637203216552734 × 131072)
    floor (83519.5)     		ty = 83519
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 50719 / 83519 ti = "17/50719/83519"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/50719/83519.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50719 ÷ 217
    50719 ÷ 131072     		x = 0.386955261230469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83519 ÷ 217
    83519 ÷ 131072     		y = 0.637199401855469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.386955261230469 × 2 - 1) × π
    -0.226089477539062 × 3.1415926535     		Λ = -0.71028104
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.637199401855469 × 2 - 1) × π
    -0.274398803710938 × 3.1415926535     		Φ = -0.86204926586747
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.71028104} λ = -0.71028104}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.86204926586747))-π/2
    2×atan(0.422295798632005)-π/2
    2×0.399577936707455-π/2
    0.79915587341491-1.57079632675     		φ = -0.77164045
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.71028104} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -40.696106°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77164045 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.211741°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50719 KachelY 83519 -0.71028104 -0.77164045 -40.696106 -44.211741
    Oben rechts KachelX + 1 50720 KachelY 83519 -0.71023310 -0.77164045 -40.693359 -44.211741
    Unten links KachelX 50719 KachelY + 1 83520 -0.71028104 -0.77167481 -40.696106 -44.213710
    Unten rechts KachelX + 1 50720 KachelY + 1 83520 -0.71023310 -0.77167481 -40.693359 -44.213710
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77164045--0.77167481) × R
    3.4360000000011e-05 × 6371000     		dl = 218.90756000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77164045--0.77167481) × R
    3.4360000000011e-05 × 6371000     		dr = 218.90756000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.71028104--0.71023310) × cos(-0.77164045) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.716767729094985 × 6371000     		do = 218.919314067319m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.71028104--0.71023310) × cos(-0.77167481) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.716743769031627 × 6371000     		du = 218.911996047237m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77164045)-sin(-0.77167481))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.716767729094985-0.716743769031627)×R²
    abs(-0.71023310--0.71028104)×2.39600633573644e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.39600633573644e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.39600633573644e-05×40589641000000     		ar = 47922.2918992353m²