Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50719 / 48561
↖ ↑ ↗
← S 65.185336°
E 98.607788°		 ← 256.34 m → S 65.185336°
E 98.613281°		 →
↑
256.31 m
↓
↑
256.31 m
↓
S 65.187641°
E 98.607788°		 ← 256.32 m →
65 698 m²		 S 65.187641°
E 98.613281°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50719 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48561 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.773918151855469 y=0.740989685058594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.773918151855469 × 216)
    floor (0.773918151855469 × 65536)
    floor (50719.5)     		tx = 50719
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.740989685058594 × 216)
    floor (0.740989685058594 × 65536)
    floor (48561.5)     		ty = 48561
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50719 / 48561 ti = "16/50719/48561"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50719/48561.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50719 ÷ 216
    50719 ÷ 65536     		x = 0.773910522460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48561 ÷ 216
    48561 ÷ 65536     		y = 0.740982055664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.773910522460938 × 2 - 1) × π
    0.547821044921875 × 3.1415926535     		Λ = 1.72103057
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.740982055664062 × 2 - 1) × π
    -0.481964111328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.51413491139909
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72103057} λ = 1.72103057}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51413491139909))-π/2
    2×atan(0.219998420676419)-π/2
    2×0.216548798562407-π/2
    0.433097597124814-1.57079632675     		φ = -1.13769873
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72103057} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.607788°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13769873 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.185336°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50719 KachelY 48561 1.72103057 -1.13769873 98.607788 -65.185336
    Oben rechts KachelX + 1 50720 KachelY 48561 1.72112644 -1.13769873 98.613281 -65.185336
    Unten links KachelX 50719 KachelY + 1 48562 1.72103057 -1.13773896 98.607788 -65.187641
    Unten rechts KachelX + 1 50720 KachelY + 1 48562 1.72112644 -1.13773896 98.613281 -65.187641
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13769873--1.13773896) × R
    4.02299999999745e-05 × 6371000     		dl = 256.305329999837m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13769873--1.13773896) × R
    4.02299999999745e-05 × 6371000     		dr = 256.305329999837m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72103057-1.72112644) × cos(-1.13769873) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.419684407361249 × 6371000     		do = 256.338103275943m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72103057-1.72112644) × cos(-1.13773896) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.419647891453786 × 6371000     		du = 256.315799806255m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13769873)-sin(-1.13773896))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.419684407361249-0.419647891453786)×R²
    abs(1.72112644-1.72103057)×3.65159074621202e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.65159074621202e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.65159074621202e-05×40589641000000     		ar = 65697.9639113541m²