Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50718 / 48737
↖ ↑ ↗
← S 65.587990°
E 98.602295°		 ← 252.44 m → S 65.587990°
E 98.607788°		 →
↑
252.48 m
↓
↑
252.48 m
↓
S 65.590261°
E 98.602295°		 ← 252.41 m →
63 733 m²		 S 65.590261°
E 98.607788°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50718 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48737 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.773902893066406 y=0.743675231933594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.773902893066406 × 216)
    floor (0.773902893066406 × 65536)
    floor (50718.5)     		tx = 50718
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743675231933594 × 216)
    floor (0.743675231933594 × 65536)
    floor (48737.5)     		ty = 48737
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50718 / 48737 ti = "16/50718/48737"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50718/48737.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50718 ÷ 216
    50718 ÷ 65536     		x = 0.773895263671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48737 ÷ 216
    48737 ÷ 65536     		y = 0.743667602539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.773895263671875 × 2 - 1) × π
    0.54779052734375 × 3.1415926535     		Λ = 1.72093470
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.743667602539062 × 2 - 1) × π
    -0.487335205078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.53100870006535
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72093470} λ = 1.72093470}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53100870006535))-π/2
    2×atan(0.216317357897107)-π/2
    2×0.213034972097213-π/2
    0.426069944194425-1.57079632675     		φ = -1.14472638
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72093470} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.602295°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14472638 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.587990°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50718 KachelY 48737 1.72093470 -1.14472638 98.602295 -65.587990
    Oben rechts KachelX + 1 50719 KachelY 48737 1.72103057 -1.14472638 98.607788 -65.587990
    Unten links KachelX 50718 KachelY + 1 48738 1.72093470 -1.14476601 98.602295 -65.590261
    Unten rechts KachelX + 1 50719 KachelY + 1 48738 1.72103057 -1.14476601 98.607788 -65.590261
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14472638--1.14476601) × R
    3.96299999998462e-05 × 6371000     		dl = 252.48272999902m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14472638--1.14476601) × R
    3.96299999998462e-05 × 6371000     		dr = 252.48272999902m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72093470-1.72103057) × cos(-1.14472638) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.413295308520257 × 6371000     		do = 252.435719842544m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72093470-1.72103057) × cos(-1.14476601) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.413259221234616 × 6371000     		du = 252.413678169822m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14472638)-sin(-1.14476601))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.413295308520257-0.413259221234616)×R²
    abs(1.72103057-1.72093470)×3.60872856403072e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.60872856403072e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.60872856403072e-05×40589641000000     		ar = 63732.8771325012m²