Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 50715 / 48914
↖ ↑ ↗
← S 65.986741°
E 98.585815°		 ← 248.58 m → S 65.986741°
E 98.591309°		 →
↑
248.53 m
↓
↑
248.53 m
↓
S 65.988977°
E 98.585815°		 ← 248.56 m →
61 779 m²		 S 65.988977°
E 98.591309°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50715 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48914 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.773857116699219 y=0.746376037597656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.773857116699219 × 216)
    floor (0.773857116699219 × 65536)
    floor (50715.5)     		tx = 50715
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.746376037597656 × 216)
    floor (0.746376037597656 × 65536)
    floor (48914.5)     		ty = 48914
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50715 / 48914 ti = "16/50715/48914"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50715/48914.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50715 ÷ 216
    50715 ÷ 65536     		x = 0.773849487304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48914 ÷ 216
    48914 ÷ 65536     		y = 0.746368408203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.773849487304688 × 2 - 1) × π
    0.547698974609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.72064707
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.746368408203125 × 2 - 1) × π
    -0.49273681640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.54797836253085
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72064707} λ = 1.72064707}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54797836253085))-π/2
    2×atan(0.212677496306462)-π/2
    2×0.20955521435526-π/2
    0.419110428710521-1.57079632675     		φ = -1.15168590
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72064707} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.585815°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15168590 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.986741°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50715 KachelY 48914 1.72064707 -1.15168590 98.585815 -65.986741
    Oben rechts KachelX + 1 50716 KachelY 48914 1.72074295 -1.15168590 98.591309 -65.986741
    Unten links KachelX 50715 KachelY + 1 48915 1.72064707 -1.15172491 98.585815 -65.988977
    Unten rechts KachelX + 1 50716 KachelY + 1 48915 1.72074295 -1.15172491 98.591309 -65.988977
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15168590--1.15172491) × R
    3.90100000000615e-05 × 6371000     		dl = 248.532710000392m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15168590--1.15172491) × R
    3.90100000000615e-05 × 6371000     		dr = 248.532710000392m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72064707-1.72074295) × cos(-1.15168590) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.406948032372854 × 6371000     		do = 248.584807857883m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72064707-1.72074295) × cos(-1.15172491) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.406912398327549 × 6371000     		du = 248.56304074857m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15168590)-sin(-1.15172491))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.406948032372854-0.406912398327549)×R²
    abs(1.72074295-1.72064707)×3.56340453053217e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.56340453053217e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.56340453053217e-05×40589641000000     		ar = 61778.751050086m²