Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50713 / 49190
↖ ↑ ↗
← S 66.596312°
E 98.574829°		 ← 242.61 m → S 66.596312°
E 98.580322°		 →
↑
242.61 m
↓
↑
242.61 m
↓
S 66.598494°
E 98.574829°		 ← 242.59 m →
58 856 m²		 S 66.598494°
E 98.580322°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50713 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49190 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.773826599121094 y=0.750587463378906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.773826599121094 × 216)
    floor (0.773826599121094 × 65536)
    floor (50713.5)     		tx = 50713
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.750587463378906 × 216)
    floor (0.750587463378906 × 65536)
    floor (49190.5)     		ty = 49190
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50713 / 49190 ti = "16/50713/49190"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50713/49190.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50713 ÷ 216
    50713 ÷ 65536     		x = 0.773818969726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49190 ÷ 216
    49190 ÷ 65536     		y = 0.750579833984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.773818969726562 × 2 - 1) × π
    0.547637939453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.72045533
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.750579833984375 × 2 - 1) × π
    -0.50115966796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.57443953112112
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72045533} λ = 1.72045533}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57443953112112))-π/2
    2×atan(0.207123606491359)-π/2
    2×0.204235704170035-π/2
    0.40847140834007-1.57079632675     		φ = -1.16232492
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72045533} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.574829°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16232492 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.596312°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50713 KachelY 49190 1.72045533 -1.16232492 98.574829 -66.596312
    Oben rechts KachelX + 1 50714 KachelY 49190 1.72055120 -1.16232492 98.580322 -66.596312
    Unten links KachelX 50713 KachelY + 1 49191 1.72045533 -1.16236300 98.574829 -66.598494
    Unten rechts KachelX + 1 50714 KachelY + 1 49191 1.72055120 -1.16236300 98.580322 -66.598494
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16232492--1.16236300) × R
    3.80799999999404e-05 × 6371000     		dl = 242.60767999962m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16232492--1.16236300) × R
    3.80799999999404e-05 × 6371000     		dr = 242.60767999962m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72045533-1.72055120) × cos(-1.16232492) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.397206958177728 × 6371000     		do = 242.609152213852m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72045533-1.72055120) × cos(-1.16236300) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.397172010767039 × 6371000     		du = 242.587806762811m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16232492)-sin(-1.16236300))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.397206958177728-0.397172010767039)×R²
    abs(1.72055120-1.72045533)×3.49474106882686e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.49474106882686e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.49474106882686e-05×40589641000000     		ar = 58856.2542873435m²