Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 50713 / 48551
↖ ↑ ↗
← S 65.162272°
E 98.574829°		 ← 256.56 m → S 65.162272°
E 98.580322°		 →
↑
256.56 m
↓
↑
256.56 m
↓
S 65.164579°
E 98.574829°		 ← 256.54 m →
65 821 m²		 S 65.164579°
E 98.580322°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50713 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48551 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.773826599121094 y=0.740837097167969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.773826599121094 × 216)
    floor (0.773826599121094 × 65536)
    floor (50713.5)     		tx = 50713
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.740837097167969 × 216)
    floor (0.740837097167969 × 65536)
    floor (48551.5)     		ty = 48551
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50713 / 48551 ti = "16/50713/48551"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50713/48551.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50713 ÷ 216
    50713 ÷ 65536     		x = 0.773818969726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48551 ÷ 216
    48551 ÷ 65536     		y = 0.740829467773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.773818969726562 × 2 - 1) × π
    0.547637939453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.72045533
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.740829467773438 × 2 - 1) × π
    -0.481658935546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.51317617340669
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72045533} λ = 1.72045533}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51317617340669))-π/2
    2×atan(0.220209442661823)-π/2
    2×0.216750069812407-π/2
    0.433500139624814-1.57079632675     		φ = -1.13729619
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72045533} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.574829°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13729619 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.162272°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50713 KachelY 48551 1.72045533 -1.13729619 98.574829 -65.162272
    Oben rechts KachelX + 1 50714 KachelY 48551 1.72055120 -1.13729619 98.580322 -65.162272
    Unten links KachelX 50713 KachelY + 1 48552 1.72045533 -1.13733646 98.574829 -65.164579
    Unten rechts KachelX + 1 50714 KachelY + 1 48552 1.72055120 -1.13733646 98.580322 -65.164579
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13729619--1.13733646) × R
    4.02699999999534e-05 × 6371000     		dl = 256.560169999703m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13729619--1.13733646) × R
    4.02699999999534e-05 × 6371000     		dr = 256.560169999703m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72045533-1.72055120) × cos(-1.13729619) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.420049746868221 × 6371000     		do = 256.5612481787m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72045533-1.72055120) × cos(-1.13733646) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.420013201459149 × 6371000     		du = 256.538926689789m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13729619)-sin(-1.13733646))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.420049746868221-0.420013201459149)×R²
    abs(1.72055120-1.72045533)×3.65454090723305e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.65454090723305e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.65454090723305e-05×40589641000000     		ar = 65820.5340546821m²