Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 50712 / 83512
↖ ↑ ↗
← S 44.197959°
W 40.715332°		 ← 218.97 m → S 44.197959°
W 40.712585°		 →
↑
218.91 m
↓
↑
218.91 m
↓
S 44.199928°
W 40.715332°		 ← 218.96 m →
47 934 m²		 S 44.199928°
W 40.712585°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50712 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83512 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.386905670166016 y=0.637149810791016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.386905670166016 × 217)
    floor (0.386905670166016 × 131072)
    floor (50712.5)     		tx = 50712
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.637149810791016 × 217)
    floor (0.637149810791016 × 131072)
    floor (83512.5)     		ty = 83512
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 50712 / 83512 ti = "17/50712/83512"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/50712/83512.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50712 ÷ 217
    50712 ÷ 131072     		x = 0.38690185546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83512 ÷ 217
    83512 ÷ 131072     		y = 0.63714599609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.38690185546875 × 2 - 1) × π
    -0.2261962890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.71061660
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63714599609375 × 2 - 1) × π
    -0.2742919921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.861713707570129
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.71061660} λ = -0.71061660}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.861713707570129))-π/2
    2×atan(0.422437527268948)-π/2
    2×0.399698209455973-π/2
    0.799396418911945-1.57079632675     		φ = -0.77139991
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.71061660} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -40.715332°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77139991 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.197959°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50712 KachelY 83512 -0.71061660 -0.77139991 -40.715332 -44.197959
    Oben rechts KachelX + 1 50713 KachelY 83512 -0.71056866 -0.77139991 -40.712585 -44.197959
    Unten links KachelX 50712 KachelY + 1 83513 -0.71061660 -0.77143427 -40.715332 -44.199928
    Unten rechts KachelX + 1 50713 KachelY + 1 83513 -0.71056866 -0.77143427 -40.712585 -44.199928
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77139991--0.77143427) × R
    3.4360000000011e-05 × 6371000     		dl = 218.90756000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77139991--0.77143427) × R
    3.4360000000011e-05 × 6371000     		dr = 218.90756000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.71061660--0.71056866) × cos(-0.77139991) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.716935439785453 × 6371000     		do = 218.970537229061m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.71061660--0.71056866) × cos(-0.77143427) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.716911485646743 × 6371000     		du = 218.963221018519m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77139991)-sin(-0.77143427))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.716935439785453-0.716911485646743)×R²
    abs(-0.71056866--0.71061660)×2.39541387107023e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.39541387107023e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.39541387107023e-05×40589641000000     		ar = 47933.5052344953m²