Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50712 / 48920
↖ ↑ ↗
← S 66.000150°
E 98.569336°		 ← 248.45 m → S 66.000150°
E 98.574829°		 →
↑
248.41 m
↓
↑
248.41 m
↓
S 66.002384°
E 98.569336°		 ← 248.43 m →
61 715 m²		 S 66.002384°
E 98.574829°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50712 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48920 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.773811340332031 y=0.746467590332031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.773811340332031 × 216)
    floor (0.773811340332031 × 65536)
    floor (50712.5)     		tx = 50712
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.746467590332031 × 216)
    floor (0.746467590332031 × 65536)
    floor (48920.5)     		ty = 48920
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50712 / 48920 ti = "16/50712/48920"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50712/48920.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50712 ÷ 216
    50712 ÷ 65536     		x = 0.7738037109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48920 ÷ 216
    48920 ÷ 65536     		y = 0.7464599609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7738037109375 × 2 - 1) × π
    0.547607421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.72035945
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7464599609375 × 2 - 1) × π
    -0.492919921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.54855360532629
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72035945} λ = 1.72035945}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54855360532629))-π/2
    2×atan(0.21255519029016)-π/2
    2×0.2094381981401-π/2
    0.418876396280201-1.57079632675     		φ = -1.15191993
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72035945} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.569336°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15191993 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.000150°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50712 KachelY 48920 1.72035945 -1.15191993 98.569336 -66.000150
    Oben rechts KachelX + 1 50713 KachelY 48920 1.72045533 -1.15191993 98.574829 -66.000150
    Unten links KachelX 50712 KachelY + 1 48921 1.72035945 -1.15195892 98.569336 -66.002384
    Unten rechts KachelX + 1 50713 KachelY + 1 48921 1.72045533 -1.15195892 98.574829 -66.002384
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15191993--1.15195892) × R
    3.8989999999961e-05 × 6371000     		dl = 248.405289999752m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15191993--1.15195892) × R
    3.8989999999961e-05 × 6371000     		dr = 248.405289999752m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72035945-1.72045533) × cos(-1.15191993) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.406734246220035 × 6371000     		do = 248.454216270605m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72035945-1.72045533) × cos(-1.15195892) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.40669862673188 × 6371000     		du = 248.432458053549m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15191993)-sin(-1.15195892))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.406734246220035-0.40669862673188)×R²
    abs(1.72045533-1.72035945)×3.56194881552252e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.56194881552252e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.56194881552252e-05×40589641000000     		ar = 61714.6392239465m²