Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50712 / 48552
↖ ↑ ↗
← S 65.164579°
E 98.569336°		 ← 256.57 m → S 65.164579°
E 98.574829°		 →
↑
256.50 m
↓
↑
256.50 m
↓
S 65.166886°
E 98.569336°		 ← 256.54 m →
65 805 m²		 S 65.166886°
E 98.574829°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50712 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48552 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.773811340332031 y=0.740852355957031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.773811340332031 × 216)
    floor (0.773811340332031 × 65536)
    floor (50712.5)     		tx = 50712
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.740852355957031 × 216)
    floor (0.740852355957031 × 65536)
    floor (48552.5)     		ty = 48552
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50712 / 48552 ti = "16/50712/48552"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50712/48552.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50712 ÷ 216
    50712 ÷ 65536     		x = 0.7738037109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48552 ÷ 216
    48552 ÷ 65536     		y = 0.7408447265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7738037109375 × 2 - 1) × π
    0.547607421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.72035945
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7408447265625 × 2 - 1) × π
    -0.481689453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.51327204720593
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72035945} λ = 1.72035945}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51327204720593))-π/2
    2×atan(0.220188331357953)-π/2
    2×0.21672993480568-π/2
    0.43345986961136-1.57079632675     		φ = -1.13733646
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72035945} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.569336°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13733646 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.164579°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50712 KachelY 48552 1.72035945 -1.13733646 98.569336 -65.164579
    Oben rechts KachelX + 1 50713 KachelY 48552 1.72045533 -1.13733646 98.574829 -65.164579
    Unten links KachelX 50712 KachelY + 1 48553 1.72035945 -1.13737672 98.569336 -65.166886
    Unten rechts KachelX + 1 50713 KachelY + 1 48553 1.72045533 -1.13737672 98.574829 -65.166886
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13733646--1.13737672) × R
    4.02600000000142e-05 × 6371000     		dl = 256.49646000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13733646--1.13737672) × R
    4.02600000000142e-05 × 6371000     		dr = 256.49646000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72035945-1.72045533) × cos(-1.13733646) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.420013201459149 × 6371000     		do = 256.565685731285m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72035945-1.72045533) × cos(-1.13737672) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.419976664444301 × 6371000     		du = 256.543367041691m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13733646)-sin(-1.13737672))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.420013201459149-0.419976664444301)×R²
    abs(1.72045533-1.72035945)×3.65370148473487e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.65370148473487e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.65370148473487e-05×40589641000000     		ar = 65805.3278240325m²