Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 50709 / 83505
↖ ↑ ↗
← S 44.184174°
W 40.723572°		 ← 219.02 m → S 44.184174°
W 40.720825°		 →
↑
218.97 m
↓
↑
218.97 m
↓
S 44.186143°
W 40.723572°		 ← 219.01 m →
47 959 m²		 S 44.186143°
W 40.720825°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50709 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83505 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.386882781982422 y=0.637096405029297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.386882781982422 × 217)
    floor (0.386882781982422 × 131072)
    floor (50709.5)     		tx = 50709
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.637096405029297 × 217)
    floor (0.637096405029297 × 131072)
    floor (83505.5)     		ty = 83505
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 50709 / 83505 ti = "17/50709/83505"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/50709/83505.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50709 ÷ 217
    50709 ÷ 131072     		x = 0.386878967285156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83505 ÷ 217
    83505 ÷ 131072     		y = 0.637092590332031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.386878967285156 × 2 - 1) × π
    -0.226242065429688 × 3.1415926535     		Λ = -0.71076041
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.637092590332031 × 2 - 1) × π
    -0.274185180664062 × 3.1415926535     		Φ = -0.861378149272789
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.71076041} λ = -0.71076041}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.861378149272789))-π/2
    2×atan(0.422579303472091)-π/2
    2×0.399818510343301-π/2
    0.799637020686603-1.57079632675     		φ = -0.77115931
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.71076041} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -40.723572°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77115931 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.184174°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50709 KachelY 83505 -0.71076041 -0.77115931 -40.723572 -44.184174
    Oben rechts KachelX + 1 50710 KachelY 83505 -0.71071247 -0.77115931 -40.720825 -44.184174
    Unten links KachelX 50709 KachelY + 1 83506 -0.71076041 -0.77119368 -40.723572 -44.186143
    Unten rechts KachelX + 1 50710 KachelY + 1 83506 -0.71071247 -0.77119368 -40.720825 -44.186143
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77115931--0.77119368) × R
    3.43699999999503e-05 × 6371000     		dl = 218.971269999683m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77115931--0.77119368) × R
    3.43699999999503e-05 × 6371000     		dr = 218.971269999683m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.71076041--0.71071247) × cos(-0.77115931) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.717103150812427 × 6371000     		do = 219.021760493073m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.71076041--0.71071247) × cos(-0.77119368) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.71707919563131 × 6371000     		du = 219.014443964154m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77115931)-sin(-0.77119368))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.717103150812427-0.71707919563131)×R²
    abs(-0.71071247--0.71076041)×2.39551811165306e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39551811165306e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39551811165306e-05×40589641000000     		ar = 47958.6720025603m²