Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 50706 / 83506
↖ ↑ ↗
← S 44.186143°
W 40.731811°		 ← 219.01 m → S 44.186143°
W 40.729065°		 →
↑
219.03 m
↓
↑
219.03 m
↓
S 44.188113°
W 40.731811°		 ← 219.01 m →
47 971 m²		 S 44.188113°
W 40.729065°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50706 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83506 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.386859893798828 y=0.637104034423828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.386859893798828 × 217)
    floor (0.386859893798828 × 131072)
    floor (50706.5)     		tx = 50706
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.637104034423828 × 217)
    floor (0.637104034423828 × 131072)
    floor (83506.5)     		ty = 83506
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 50706 / 83506 ti = "17/50706/83506"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/50706/83506.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50706 ÷ 217
    50706 ÷ 131072     		x = 0.386856079101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83506 ÷ 217
    83506 ÷ 131072     		y = 0.637100219726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.386856079101562 × 2 - 1) × π
    -0.226287841796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.71090422
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.637100219726562 × 2 - 1) × π
    -0.274200439453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.861426086172409
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.71090422} λ = -0.71090422}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.861426086172409))-π/2
    2×atan(0.422559046815963)-π/2
    2×0.399801322779484-π/2
    0.799602645558969-1.57079632675     		φ = -0.77119368
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.71090422} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -40.731811°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77119368 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.186143°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50706 KachelY 83506 -0.71090422 -0.77119368 -40.731811 -44.186143
    Oben rechts KachelX + 1 50707 KachelY 83506 -0.71085628 -0.77119368 -40.729065 -44.186143
    Unten links KachelX 50706 KachelY + 1 83507 -0.71090422 -0.77122806 -40.731811 -44.188113
    Unten rechts KachelX + 1 50707 KachelY + 1 83507 -0.71085628 -0.77122806 -40.729065 -44.188113
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77119368--0.77122806) × R
    3.43800000000005e-05 × 6371000     		dl = 219.034980000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77119368--0.77122806) × R
    3.43800000000005e-05 × 6371000     		dr = 219.034980000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.71090422--0.71085628) × cos(-0.77119368) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.71707919563131 × 6371000     		do = 219.014443964154m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.71090422--0.71085628) × cos(-0.77122806) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.717055232632947 × 6371000     		du = 219.007125047646m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77119368)-sin(-0.77122806))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.71707919563131-0.717055232632947)×R²
    abs(-0.71085628--0.71090422)×2.39629983634915e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39629983634915e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39629983634915e-05×40589641000000     		ar = 47971.022808791m²