Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50706 / 48915
↖ ↑ ↗
← S 65.988977°
E 98.536377°		 ← 248.54 m → S 65.988977°
E 98.541870°		 →
↑
248.53 m
↓
↑
248.53 m
↓
S 65.991212°
E 98.536377°		 ← 248.52 m →
61 767 m²		 S 65.991212°
E 98.541870°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50706 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48915 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.773719787597656 y=0.746391296386719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.773719787597656 × 216)
    floor (0.773719787597656 × 65536)
    floor (50706.5)     		tx = 50706
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.746391296386719 × 216)
    floor (0.746391296386719 × 65536)
    floor (48915.5)     		ty = 48915
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50706 / 48915 ti = "16/50706/48915"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50706/48915.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50706 ÷ 216
    50706 ÷ 65536     		x = 0.773712158203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48915 ÷ 216
    48915 ÷ 65536     		y = 0.746383666992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.773712158203125 × 2 - 1) × π
    0.54742431640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.71978421
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.746383666992188 × 2 - 1) × π
    -0.492767333984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.54807423633009
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71978421} λ = 1.71978421}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54807423633009))-π/2
    2×atan(0.21265710708429)-π/2
    2×0.209535707382387-π/2
    0.419071414764774-1.57079632675     		φ = -1.15172491
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71978421} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.536377°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15172491 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.988977°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50706 KachelY 48915 1.71978421 -1.15172491 98.536377 -65.988977
    Oben rechts KachelX + 1 50707 KachelY 48915 1.71988008 -1.15172491 98.541870 -65.988977
    Unten links KachelX 50706 KachelY + 1 48916 1.71978421 -1.15176392 98.536377 -65.991212
    Unten rechts KachelX + 1 50707 KachelY + 1 48916 1.71988008 -1.15176392 98.541870 -65.991212
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15172491--1.15176392) × R
    3.90100000000615e-05 × 6371000     		dl = 248.532710000392m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15172491--1.15176392) × R
    3.90100000000615e-05 × 6371000     		dr = 248.532710000392m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71978421-1.71988008) × cos(-1.15172491) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.406912398327549 × 6371000     		do = 248.53711635983m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71978421-1.71988008) × cos(-1.15176392) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.406876763663012 × 6371000     		du = 248.515351142543m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15172491)-sin(-1.15176392))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.406912398327549-0.406876763663012)×R²
    abs(1.71988008-1.71978421)×3.5634664536488e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.5634664536488e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.5634664536488e-05×40589641000000     		ar = 61766.8983880861m²