Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 50704 / 83504
↖ ↑ ↗
← S 44.182204°
W 40.737305°		 ← 219.03 m → S 44.182204°
W 40.734558°		 →
↑
219.03 m
↓
↑
219.03 m
↓
S 44.184174°
W 40.737305°		 ← 219.02 m →
47 974 m²		 S 44.184174°
W 40.734558°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50704 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83504 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.386844635009766 y=0.637088775634766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.386844635009766 × 217)
    floor (0.386844635009766 × 131072)
    floor (50704.5)     		tx = 50704
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.637088775634766 × 217)
    floor (0.637088775634766 × 131072)
    floor (83504.5)     		ty = 83504
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 50704 / 83504 ti = "17/50704/83504"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/50704/83504.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50704 ÷ 217
    50704 ÷ 131072     		x = 0.3868408203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83504 ÷ 217
    83504 ÷ 131072     		y = 0.6370849609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3868408203125 × 2 - 1) × π
    -0.226318359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.71100010
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6370849609375 × 2 - 1) × π
    -0.274169921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.861330212373169
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.71100010} λ = -0.71100010}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.861330212373169))-π/2
    2×atan(0.422599561099283)-π/2
    2×0.399835698481372-π/2
    0.799671396962744-1.57079632675     		φ = -0.77112493
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.71100010} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -40.737305°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77112493 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.182204°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50704 KachelY 83504 -0.71100010 -0.77112493 -40.737305 -44.182204
    Oben rechts KachelX + 1 50705 KachelY 83504 -0.71095216 -0.77112493 -40.734558 -44.182204
    Unten links KachelX 50704 KachelY + 1 83505 -0.71100010 -0.77115931 -40.737305 -44.184174
    Unten rechts KachelX + 1 50705 KachelY + 1 83505 -0.71095216 -0.77115931 -40.734558 -44.184174
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77112493--0.77115931) × R
    3.43800000000005e-05 × 6371000     		dl = 219.034980000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77112493--0.77115931) × R
    3.43800000000005e-05 × 6371000     		dr = 219.034980000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.71100010--0.71095216) × cos(-0.77112493) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.717127112115856 × 6371000     		do = 219.029078891905m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.71100010--0.71095216) × cos(-0.77115931) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.717103150812427 × 6371000     		du = 219.021760493073m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77112493)-sin(-0.77115931))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.717127112115856-0.717103150812427)×R²
    abs(-0.71095216--0.71100010)×2.39613034288544e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39613034288544e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39613034288544e-05×40589641000000     		ar = 47974.2284266126m²