Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50703 / 48584
↖ ↑ ↗
← S 65.238307°
E 98.519897°		 ← 255.83 m → S 65.238307°
E 98.525390°		 →
↑
255.80 m
↓
↑
255.80 m
↓
S 65.240607°
E 98.519897°		 ← 255.80 m →
65 436 m²		 S 65.240607°
E 98.525390°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50703 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48584 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.773674011230469 y=0.741340637207031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.773674011230469 × 216)
    floor (0.773674011230469 × 65536)
    floor (50703.5)     		tx = 50703
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.741340637207031 × 216)
    floor (0.741340637207031 × 65536)
    floor (48584.5)     		ty = 48584
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50703 / 48584 ti = "16/50703/48584"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50703/48584.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50703 ÷ 216
    50703 ÷ 65536     		x = 0.773666381835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48584 ÷ 216
    48584 ÷ 65536     		y = 0.7413330078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.773666381835938 × 2 - 1) × π
    0.547332763671875 × 3.1415926535     		Λ = 1.71949659
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7413330078125 × 2 - 1) × π
    -0.482666015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.51634000878162
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71949659} λ = 1.71949659}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51634000878162))-π/2
    2×atan(0.21951383720805)-π/2
    2×0.216086538894847-π/2
    0.432173077789695-1.57079632675     		φ = -1.13862325
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71949659} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.519897°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13862325 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.238307°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50703 KachelY 48584 1.71949659 -1.13862325 98.519897 -65.238307
    Oben rechts KachelX + 1 50704 KachelY 48584 1.71959246 -1.13862325 98.525390 -65.238307
    Unten links KachelX 50703 KachelY + 1 48585 1.71949659 -1.13866340 98.519897 -65.240607
    Unten rechts KachelX + 1 50704 KachelY + 1 48585 1.71959246 -1.13866340 98.525390 -65.240607
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13862325--1.13866340) × R
    4.01500000000166e-05 × 6371000     		dl = 255.795650000106m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13862325--1.13866340) × R
    4.01500000000166e-05 × 6371000     		dr = 255.795650000106m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71949659-1.71959246) × cos(-1.13862325) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.41884506896623 × 6371000     		do = 255.825445649374m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71949659-1.71959246) × cos(-1.13866340) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.418808610111512 × 6371000     		du = 255.803177026804m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13862325)-sin(-1.13866340))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.41884506896623-0.418808610111512)×R²
    abs(1.71959246-1.71949659)×3.64588547182021e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.64588547182021e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.64588547182021e-05×40589641000000     		ar = 65436.1880566928m²