Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 507 / 484
↖ ↑ ↗
← N 79.624057°
W135.439453°		 ← 1 760.18 m → N 79.624057°
W135.351562°		 →
↑
1 761.52 m
↓
↑
1 761.52 m
↓
N 79.608215°
W135.439453°		 ← 1 762.83 m →
3 102 921 m²		 N 79.608215°
W135.351562°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 507 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 484 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.1239013671875 y=0.1182861328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.1239013671875 × 212)
    floor (0.1239013671875 × 4096)
    floor (507.5)     		tx = 507
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1182861328125 × 212)
    floor (0.1182861328125 × 4096)
    floor (484.5)     		ty = 484
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 507 / 484 ti = "12/507/484"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/507/484.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 507 ÷ 212
    507 ÷ 4096     		x = 0.123779296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 484 ÷ 212
    484 ÷ 4096     		y = 0.1181640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.123779296875 × 2 - 1) × π
    -0.75244140625 × 3.1415926535     		Λ = -2.36386439
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1181640625 × 2 - 1) × π
    0.763671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.39914595218457
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.36386439} λ = -2.36386439}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.39914595218457))-π/2
    2×atan(11.01376607993)-π/2
    2×1.48024913643465-π/2
    2.9604982728693-1.57079632675     		φ = 1.38970195
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.36386439} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -135.439453°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38970195 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.624057°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 507 KachelY 484 -2.36386439 1.38970195 -135.439453 79.624057
    Oben rechts KachelX + 1 508 KachelY 484 -2.36233041 1.38970195 -135.351562 79.624057
    Unten links KachelX 507 KachelY + 1 485 -2.36386439 1.38942546 -135.439453 79.608215
    Unten rechts KachelX + 1 508 KachelY + 1 485 -2.36233041 1.38942546 -135.351562 79.608215
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38970195-1.38942546) × R
    0.000276490000000074 × 6371000     		dl = 1761.51779000047m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38970195-1.38942546) × R
    0.000276490000000074 × 6371000     		dr = 1761.51779000047m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.36386439--2.36233041) × cos(1.38970195) × R
    0.0015339799999996 × 0.180106161709778 × 6371000     		do = 1760.17510136451m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.36386439--2.36233041) × cos(1.38942546) × R
    0.0015339799999996 × 0.180378123430257 × 6371000     		du = 1762.83297960903m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38970195)-sin(1.38942546))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.180106161709778-0.180378123430257)×R²
    abs(-2.36233041--2.36386439)×0.00027196172047908×R²
    0.0015339799999996×0.00027196172047908×6371000²
    0.0015339799999996×0.00027196172047908×40589641000000     		ar = 3102920.72424068m²