Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50694 / 48950
↖ ↑ ↗
← S 66.067090°
E 98.470459°		 ← 247.78 m → S 66.067090°
E 98.475952°		 →
↑
247.77 m
↓
↑
247.77 m
↓
S 66.069318°
E 98.470459°		 ← 247.75 m →
61 388 m²		 S 66.069318°
E 98.475952°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50694 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48950 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.773536682128906 y=0.746925354003906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.773536682128906 × 216)
    floor (0.773536682128906 × 65536)
    floor (50694.5)     		tx = 50694
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.746925354003906 × 216)
    floor (0.746925354003906 × 65536)
    floor (48950.5)     		ty = 48950
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50694 / 48950 ti = "16/50694/48950"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50694/48950.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50694 ÷ 216
    50694 ÷ 65536     		x = 0.773529052734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48950 ÷ 216
    48950 ÷ 65536     		y = 0.746917724609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.773529052734375 × 2 - 1) × π
    0.54705810546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.71863373
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.746917724609375 × 2 - 1) × π
    -0.49383544921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.5514298193035
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71863373} λ = 1.71863373}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5514298193035))-π/2
    2×atan(0.211944714431371)-π/2
    2×0.208854038703635-π/2
    0.41770807740727-1.57079632675     		φ = -1.15308825
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71863373} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.470459°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15308825 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.067090°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50694 KachelY 48950 1.71863373 -1.15308825 98.470459 -66.067090
    Oben rechts KachelX + 1 50695 KachelY 48950 1.71872960 -1.15308825 98.475952 -66.067090
    Unten links KachelX 50694 KachelY + 1 48951 1.71863373 -1.15312714 98.470459 -66.069318
    Unten rechts KachelX + 1 50695 KachelY + 1 48951 1.71872960 -1.15312714 98.475952 -66.069318
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15308825--1.15312714) × R
    3.88900000001247e-05 × 6371000     		dl = 247.768190000794m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15308825--1.15312714) × R
    3.88900000001247e-05 × 6371000     		dr = 247.768190000794m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71863373-1.71872960) × cos(-1.15308825) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.405666654196684 × 6371000     		do = 247.776231080148m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71863373-1.71872960) × cos(-1.15312714) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.40563110760946 × 6371000     		du = 247.754519659407m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15308825)-sin(-1.15312714))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.405666654196684-0.40563110760946)×R²
    abs(1.71872960-1.71863373)×3.55465872232119e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.55465872232119e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.55465872232119e-05×40589641000000     		ar = 61388.3786079219m²