Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 50693 / 52725
↖ ↑ ↗
← N 33.162846°
W 40.767517°		 ← 255.68 m → N 33.162846°
W 40.764770°		 →
↑
255.67 m
↓
↑
255.67 m
↓
N 33.160547°
W 40.767517°		 ← 255.68 m →
65 370 m²		 N 33.160547°
W 40.764770°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50693 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52725 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.386760711669922 y=0.402263641357422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.386760711669922 × 217)
    floor (0.386760711669922 × 131072)
    floor (50693.5)     		tx = 50693
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.402263641357422 × 217)
    floor (0.402263641357422 × 131072)
    floor (52725.5)     		ty = 52725
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 50693 / 52725 ti = "17/50693/52725"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/50693/52725.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50693 ÷ 217
    50693 ÷ 131072     		x = 0.386756896972656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52725 ÷ 217
    52725 ÷ 131072     		y = 0.402259826660156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.386756896972656 × 2 - 1) × π
    -0.226486206054688 × 3.1415926535     		Λ = -0.71152740
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.402259826660156 × 2 - 1) × π
    0.195480346679688 × 3.1415926535     		Φ = 0.614119621032539
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.71152740} λ = -0.71152740}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.614119621032539))-π/2
    2×atan(1.84802891738476)-π/2
    2×1.07479859134169-π/2
    2.14959718268337-1.57079632675     		φ = 0.57880086
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.71152740} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -40.767517°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.57880086 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 33.162846°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50693 KachelY 52725 -0.71152740 0.57880086 -40.767517 33.162846
    Oben rechts KachelX + 1 50694 KachelY 52725 -0.71147946 0.57880086 -40.764770 33.162846
    Unten links KachelX 50693 KachelY + 1 52726 -0.71152740 0.57876073 -40.767517 33.160547
    Unten rechts KachelX + 1 50694 KachelY + 1 52726 -0.71147946 0.57876073 -40.764770 33.160547
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.57880086-0.57876073) × R
    4.01300000000271e-05 × 6371000     		dl = 255.668230000173m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.57880086-0.57876073) × R
    4.01300000000271e-05 × 6371000     		dr = 255.668230000173m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.71152740--0.71147946) × cos(0.57880086) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.837119205791144 × 6371000     		do = 255.677752897397m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.71152740--0.71147946) × cos(0.57876073) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.837141157050037 × 6371000     		du = 255.684457376888m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.57880086)-sin(0.57876073))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.837119205791144-0.837141157050037)×R²
    abs(-0.71147946--0.71152740)×2.19512588924831e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.19512588924831e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.19512588924831e-05×40589641000000     		ar = 65369.5356036029m²