Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 50690 / 52731
↖ ↑ ↗
← N 33.149050°
W 40.775757°		 ← 255.72 m → N 33.149050°
W 40.773010°		 →
↑
255.67 m
↓
↑
255.67 m
↓
N 33.146750°
W 40.775757°		 ← 255.72 m →
65 380 m²		 N 33.146750°
W 40.773010°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50690 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52731 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.386737823486328 y=0.402309417724609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.386737823486328 × 217)
    floor (0.386737823486328 × 131072)
    floor (50690.5)     		tx = 50690
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.402309417724609 × 217)
    floor (0.402309417724609 × 131072)
    floor (52731.5)     		ty = 52731
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 50690 / 52731 ti = "17/50690/52731"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/50690/52731.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50690 ÷ 217
    50690 ÷ 131072     		x = 0.386734008789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52731 ÷ 217
    52731 ÷ 131072     		y = 0.402305603027344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.386734008789062 × 2 - 1) × π
    -0.226531982421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.71167121
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.402305603027344 × 2 - 1) × π
    0.195388793945312 × 3.1415926535     		Φ = 0.613831999634819
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.71167121} λ = -0.71167121}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.613831999634819))-π/2
    2×atan(1.84749746115727)-π/2
    2×1.07467819517351-π/2
    2.14935639034701-1.57079632675     		φ = 0.57856006
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.71167121} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -40.775757°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.57856006 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 33.149050°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50690 KachelY 52731 -0.71167121 0.57856006 -40.775757 33.149050
    Oben rechts KachelX + 1 50691 KachelY 52731 -0.71162327 0.57856006 -40.773010 33.149050
    Unten links KachelX 50690 KachelY + 1 52732 -0.71167121 0.57851993 -40.775757 33.146750
    Unten rechts KachelX + 1 50691 KachelY + 1 52732 -0.71162327 0.57851993 -40.773010 33.146750
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.57856006-0.57851993) × R
    4.01300000000271e-05 × 6371000     		dl = 255.668230000173m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.57856006-0.57851993) × R
    4.01300000000271e-05 × 6371000     		dr = 255.668230000173m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.71167121--0.71162327) × cos(0.57856006) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.837250904057977 × 6371000     		do = 255.717976937409m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.71167121--0.71162327) × cos(0.57851993) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.837272847226789 × 6371000     		du = 255.724678945981m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.57856006)-sin(0.57851993))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.837250904057977-0.837272847226789)×R²
    abs(-0.71162327--0.71167121)×2.19431688127658e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.19431688127658e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.19431688127658e-05×40589641000000     		ar = 65379.8192969893m²