Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50686 / 49260
↖ ↑ ↗
← S 66.748577°
E 98.426513°		 ← 241.14 m → S 66.748577°
E 98.432007°		 →
↑
241.14 m
↓
↑
241.14 m
↓
S 66.750746°
E 98.426513°		 ← 241.12 m →
58 147 m²		 S 66.750746°
E 98.432007°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50686 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49260 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.773414611816406 y=0.751655578613281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.773414611816406 × 216)
    floor (0.773414611816406 × 65536)
    floor (50686.5)     		tx = 50686
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751655578613281 × 216)
    floor (0.751655578613281 × 65536)
    floor (49260.5)     		ty = 49260
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50686 / 49260 ti = "16/50686/49260"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50686/49260.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50686 ÷ 216
    50686 ÷ 65536     		x = 0.773406982421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49260 ÷ 216
    49260 ÷ 65536     		y = 0.75164794921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.773406982421875 × 2 - 1) × π
    0.54681396484375 × 3.1415926535     		Λ = 1.71786673
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75164794921875 × 2 - 1) × π
    -0.5032958984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.58115069706793
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71786673} λ = 1.71786673}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58115069706793))-π/2
    2×atan(0.205738219577221)-π/2
    2×0.202906940978723-π/2
    0.405813881957446-1.57079632675     		φ = -1.16498244
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71786673} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.426513°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16498244 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.748577°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50686 KachelY 49260 1.71786673 -1.16498244 98.426513 -66.748577
    Oben rechts KachelX + 1 50687 KachelY 49260 1.71796261 -1.16498244 98.432007 -66.748577
    Unten links KachelX 50686 KachelY + 1 49261 1.71786673 -1.16502029 98.426513 -66.750746
    Unten rechts KachelX + 1 50687 KachelY + 1 49261 1.71796261 -1.16502029 98.432007 -66.750746
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16498244--1.16502029) × R
    3.78500000000059e-05 × 6371000     		dl = 241.142350000038m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16498244--1.16502029) × R
    3.78500000000059e-05 × 6371000     		dr = 241.142350000038m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71786673-1.71796261) × cos(-1.16498244) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.394766675091092 × 6371000     		do = 241.143807734473m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71786673-1.71796261) × cos(-1.16502029) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.394731898932102 × 6371000     		du = 241.122564666285m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16498244)-sin(-1.16502029))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.394766675091092-0.394731898932102)×R²
    abs(1.71796261-1.71786673)×3.47761589892803e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.47761589892803e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.47761589892803e-05×40589641000000     		ar = 58147.4231902221m²