Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 50684 / 52732
↖ ↑ ↗
← N 33.146750°
W 40.792236°		 ← 255.67 m → N 33.146750°
W 40.789490°		 →
↑
255.73 m
↓
↑
255.73 m
↓
N 33.144451°
W 40.792236°		 ← 255.68 m →
65 384 m²		 N 33.144451°
W 40.789490°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50684 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52732 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.386692047119141 y=0.402317047119141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.386692047119141 × 217)
    floor (0.386692047119141 × 131072)
    floor (50684.5)     		tx = 50684
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.402317047119141 × 217)
    floor (0.402317047119141 × 131072)
    floor (52732.5)     		ty = 52732
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 50684 / 52732 ti = "17/50684/52732"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/50684/52732.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50684 ÷ 217
    50684 ÷ 131072     		x = 0.386688232421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52732 ÷ 217
    52732 ÷ 131072     		y = 0.402313232421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.386688232421875 × 2 - 1) × π
    -0.22662353515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.71195883
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.402313232421875 × 2 - 1) × π
    0.19537353515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.613784062735199
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.71195883} λ = -0.71195883}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.613784062735199))-π/2
    2×atan(1.84740889997961)-π/2
    2×1.07465812730427-π/2
    2.14931625460854-1.57079632675     		φ = 0.57851993
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.71195883} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -40.792236°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.57851993 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 33.146750°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50684 KachelY 52732 -0.71195883 0.57851993 -40.792236 33.146750
    Oben rechts KachelX + 1 50685 KachelY 52732 -0.71191090 0.57851993 -40.789490 33.146750
    Unten links KachelX 50684 KachelY + 1 52733 -0.71195883 0.57847979 -40.792236 33.144451
    Unten rechts KachelX + 1 50685 KachelY + 1 52733 -0.71191090 0.57847979 -40.789490 33.144451
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.57851993-0.57847979) × R
    4.01399999999663e-05 × 6371000     		dl = 255.731939999785m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.57851993-0.57847979) × R
    4.01399999999663e-05 × 6371000     		dr = 255.731939999785m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.71195883--0.71191090) × cos(0.57851993) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.837272847226789 × 6371000     		do = 255.671336293209m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.71195883--0.71191090) × cos(0.57847979) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.837294794514761 × 6371000     		du = 255.678038161617m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.57851993)-sin(0.57847979))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.837272847226789-0.837294794514761)×R²
    abs(-0.71191090--0.71195883)×2.19472879714466e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.19472879714466e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.19472879714466e-05×40589641000000     		ar = 65384.1837821587m²