Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50677 / 49246
↖ ↑ ↗
← S 66.718199°
E 98.377075°		 ← 241.42 m → S 66.718199°
E 98.382568°		 →
↑
241.40 m
↓
↑
241.40 m
↓
S 66.720370°
E 98.377075°		 ← 241.39 m →
58 275 m²		 S 66.720370°
E 98.382568°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50677 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49246 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.773277282714844 y=0.751441955566406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.773277282714844 × 216)
    floor (0.773277282714844 × 65536)
    floor (50677.5)     		tx = 50677
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751441955566406 × 216)
    floor (0.751441955566406 × 65536)
    floor (49246.5)     		ty = 49246
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50677 / 49246 ti = "16/50677/49246"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50677/49246.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50677 ÷ 216
    50677 ÷ 65536     		x = 0.773269653320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49246 ÷ 216
    49246 ÷ 65536     		y = 0.751434326171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.773269653320312 × 2 - 1) × π
    0.546539306640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.71700387
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.751434326171875 × 2 - 1) × π
    -0.50286865234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.57980846387857
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71700387} λ = 1.71700387}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57980846387857))-π/2
    2×atan(0.206014553654756)-π/2
    2×0.203172038858272-π/2
    0.406344077716545-1.57079632675     		φ = -1.16445225
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71700387} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.377075°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16445225 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.718199°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50677 KachelY 49246 1.71700387 -1.16445225 98.377075 -66.718199
    Oben rechts KachelX + 1 50678 KachelY 49246 1.71709974 -1.16445225 98.382568 -66.718199
    Unten links KachelX 50677 KachelY + 1 49247 1.71700387 -1.16449014 98.377075 -66.720370
    Unten rechts KachelX + 1 50678 KachelY + 1 49247 1.71709974 -1.16449014 98.382568 -66.720370
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16445225--1.16449014) × R
    3.78899999999849e-05 × 6371000     		dl = 241.397189999904m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16445225--1.16449014) × R
    3.78899999999849e-05 × 6371000     		dr = 241.397189999904m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71700387-1.71709974) × cos(-1.16445225) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.395253748297244 × 6371000     		do = 241.416155506609m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71700387-1.71709974) × cos(-1.16449014) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.395218943321371 × 6371000     		du = 241.394897053011m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16445225)-sin(-1.16449014))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.395253748297244-0.395218943321371)×R²
    abs(1.71709974-1.71700387)×3.48049758726043e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.48049758726043e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.48049758726043e-05×40589641000000     		ar = 58274.6157014035m²