Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 50677 / 49227
↖ ↑ ↗
← S 66.676912°
E 98.377075°		 ← 241.82 m → S 66.676912°
E 98.382568°		 →
↑
241.84 m
↓
↑
241.84 m
↓
S 66.679087°
E 98.377075°		 ← 241.80 m →
58 480 m²		 S 66.679087°
E 98.382568°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50677 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49227 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.773277282714844 y=0.751152038574219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.773277282714844 × 216)
    floor (0.773277282714844 × 65536)
    floor (50677.5)     		tx = 50677
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751152038574219 × 216)
    floor (0.751152038574219 × 65536)
    floor (49227.5)     		ty = 49227
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50677 / 49227 ti = "16/50677/49227"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50677/49227.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50677 ÷ 216
    50677 ÷ 65536     		x = 0.773269653320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49227 ÷ 216
    49227 ÷ 65536     		y = 0.751144409179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.773269653320312 × 2 - 1) × π
    0.546539306640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.71700387
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.751144409179688 × 2 - 1) × π
    -0.502288818359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.57798686169301
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71700387} λ = 1.71700387}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57798686169301))-π/2
    2×atan(0.20639017222589)-π/2
    2×0.203532337728846-π/2
    0.407064675457693-1.57079632675     		φ = -1.16373165
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71700387} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.377075°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16373165 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.676912°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50677 KachelY 49227 1.71700387 -1.16373165 98.377075 -66.676912
    Oben rechts KachelX + 1 50678 KachelY 49227 1.71709974 -1.16373165 98.382568 -66.676912
    Unten links KachelX 50677 KachelY + 1 49228 1.71700387 -1.16376961 98.377075 -66.679087
    Unten rechts KachelX + 1 50678 KachelY + 1 49228 1.71709974 -1.16376961 98.382568 -66.679087
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16373165--1.16376961) × R
    3.79600000000035e-05 × 6371000     		dl = 241.843160000023m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16373165--1.16376961) × R
    3.79600000000035e-05 × 6371000     		dr = 241.843160000023m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71700387-1.71709974) × cos(-1.16373165) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.395915568585027 × 6371000     		do = 241.820387244325m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71700387-1.71709974) × cos(-1.16376961) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.395880710128403 × 6371000     		du = 241.799096125339m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16373165)-sin(-1.16376961))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.395915568585027-0.395880710128403)×R²
    abs(1.71709974-1.71700387)×3.48584566233212e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.48584566233212e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.48584566233212e-05×40589641000000     		ar = 58480.0320547036m²