Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50676 / 49247
↖ ↑ ↗
← S 66.720370°
E 98.371582°		 ← 241.39 m → S 66.720370°
E 98.377075°		 →
↑
241.40 m
↓
↑
241.40 m
↓
S 66.722541°
E 98.371582°		 ← 241.37 m →
58 269 m²		 S 66.722541°
E 98.377075°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50676 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49247 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.773262023925781 y=0.751457214355469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.773262023925781 × 216)
    floor (0.773262023925781 × 65536)
    floor (50676.5)     		tx = 50676
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751457214355469 × 216)
    floor (0.751457214355469 × 65536)
    floor (49247.5)     		ty = 49247
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50676 / 49247 ti = "16/50676/49247"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50676/49247.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50676 ÷ 216
    50676 ÷ 65536     		x = 0.77325439453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49247 ÷ 216
    49247 ÷ 65536     		y = 0.751449584960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77325439453125 × 2 - 1) × π
    0.5465087890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.71690800
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.751449584960938 × 2 - 1) × π
    -0.502899169921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.57990433767781
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71690800} λ = 1.71690800}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57990433767781))-π/2
    2×atan(0.205994803203589)-π/2
    2×0.203153092453268-π/2
    0.406306184906537-1.57079632675     		φ = -1.16449014
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71690800} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.371582°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16449014 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.720370°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50676 KachelY 49247 1.71690800 -1.16449014 98.371582 -66.720370
    Oben rechts KachelX + 1 50677 KachelY 49247 1.71700387 -1.16449014 98.377075 -66.720370
    Unten links KachelX 50676 KachelY + 1 49248 1.71690800 -1.16452803 98.371582 -66.722541
    Unten rechts KachelX + 1 50677 KachelY + 1 49248 1.71700387 -1.16452803 98.377075 -66.722541
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16449014--1.16452803) × R
    3.78899999999849e-05 × 6371000     		dl = 241.397189999904m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16449014--1.16452803) × R
    3.78899999999849e-05 × 6371000     		dr = 241.397189999904m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71690800-1.71700387) × cos(-1.16449014) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.395218943321371 × 6371000     		do = 241.394897053011m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71690800-1.71700387) × cos(-1.16452803) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.395184137778101 × 6371000     		du = 241.373638252854m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16449014)-sin(-1.16452803))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.395218943321371-0.395184137778101)×R²
    abs(1.71700387-1.71690800)×3.48055432695671e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.48055432695671e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.48055432695671e-05×40589641000000     		ar = 58269.4839289303m²