Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50675 / 49237
↖ ↑ ↗
← S 66.698651°
E 98.366089°		 ← 241.63 m → S 66.698651°
E 98.371582°		 →
↑
241.65 m
↓
↑
241.65 m
↓
S 66.700824°
E 98.366089°		 ← 241.61 m →
58 388 m²		 S 66.700824°
E 98.371582°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50675 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49237 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.773246765136719 y=0.751304626464844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.773246765136719 × 216)
    floor (0.773246765136719 × 65536)
    floor (50675.5)     		tx = 50675
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751304626464844 × 216)
    floor (0.751304626464844 × 65536)
    floor (49237.5)     		ty = 49237
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50675 / 49237 ti = "16/50675/49237"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50675/49237.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50675 ÷ 216
    50675 ÷ 65536     		x = 0.773239135742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49237 ÷ 216
    49237 ÷ 65536     		y = 0.751296997070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.773239135742188 × 2 - 1) × π
    0.546478271484375 × 3.1415926535     		Λ = 1.71681212
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.751296997070312 × 2 - 1) × π
    -0.502593994140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.57894559968541
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71681212} λ = 1.71681212}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57894559968541))-π/2
    2×atan(0.206192392950921)-π/2
    2×0.203342631605859-π/2
    0.406685263211717-1.57079632675     		φ = -1.16411106
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71681212} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.366089°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16411106 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.698651°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50675 KachelY 49237 1.71681212 -1.16411106 98.366089 -66.698651
    Oben rechts KachelX + 1 50676 KachelY 49237 1.71690800 -1.16411106 98.371582 -66.698651
    Unten links KachelX 50675 KachelY + 1 49238 1.71681212 -1.16414899 98.366089 -66.700824
    Unten rechts KachelX + 1 50676 KachelY + 1 49238 1.71690800 -1.16414899 98.371582 -66.700824
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16411106--1.16414899) × R
    3.79299999999638e-05 × 6371000     		dl = 241.65202999977m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16411106--1.16414899) × R
    3.79299999999638e-05 × 6371000     		dr = 241.65202999977m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71681212-1.71690800) × cos(-1.16411106) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.39556713285767 × 6371000     		do = 241.632768545866m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71681212-1.71690800) × cos(-1.16414899) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.395532296255234 × 6371000     		du = 241.611488555709m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16411106)-sin(-1.16414899))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.39556713285767-0.395532296255234)×R²
    abs(1.71690800-1.71681212)×3.48366024366942e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.48366024366942e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.48366024366942e-05×40589641000000     		ar = 58388.4778642562m²