Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50673 / 49229
↖ ↑ ↗
← S 66.681261°
E 98.355103°		 ← 241.78 m → S 66.681261°
E 98.360596°		 →
↑
241.78 m
↓
↑
241.78 m
↓
S 66.683436°
E 98.355103°		 ← 241.76 m →
58 454 m²		 S 66.683436°
E 98.360596°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50673 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49229 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.773216247558594 y=0.751182556152344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.773216247558594 × 216)
    floor (0.773216247558594 × 65536)
    floor (50673.5)     		tx = 50673
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751182556152344 × 216)
    floor (0.751182556152344 × 65536)
    floor (49229.5)     		ty = 49229
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50673 / 49229 ti = "16/50673/49229"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50673/49229.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50673 ÷ 216
    50673 ÷ 65536     		x = 0.773208618164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49229 ÷ 216
    49229 ÷ 65536     		y = 0.751174926757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.773208618164062 × 2 - 1) × π
    0.546417236328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.71662038
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.751174926757812 × 2 - 1) × π
    -0.502349853515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.57817860929149
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71662038} λ = 1.71662038}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57817860929149))-π/2
    2×atan(0.206350601199962)-π/2
    2×0.203494383140869-π/2
    0.406988766281738-1.57079632675     		φ = -1.16380756
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71662038} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.355103°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16380756 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.681261°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50673 KachelY 49229 1.71662038 -1.16380756 98.355103 -66.681261
    Oben rechts KachelX + 1 50674 KachelY 49229 1.71671625 -1.16380756 98.360596 -66.681261
    Unten links KachelX 50673 KachelY + 1 49230 1.71662038 -1.16384551 98.355103 -66.683436
    Unten rechts KachelX + 1 50674 KachelY + 1 49230 1.71671625 -1.16384551 98.360596 -66.683436
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16380756--1.16384551) × R
    3.79500000000643e-05 × 6371000     		dl = 241.77945000041m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16380756--1.16384551) × R
    3.79500000000643e-05 × 6371000     		dr = 241.77945000041m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71662038-1.71671625) × cos(-1.16380756) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.395845860284501 × 6371000     		do = 241.777810266896m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71662038-1.71671625) × cos(-1.16384551) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.3958110098705 × 6371000     		du = 241.756524060245m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16380756)-sin(-1.16384551))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.395845860284501-0.3958110098705)×R²
    abs(1.71671625-1.71662038)×3.48504140007533e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.48504140007533e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.48504140007533e-05×40589641000000     		ar = 58454.3327116612m²