Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50673 / 49135
↖ ↑ ↗
← S 66.476016°
E 98.355103°		 ← 243.79 m → S 66.476016°
E 98.360596°		 →
↑
243.75 m
↓
↑
243.75 m
↓
S 66.478208°
E 98.355103°		 ← 243.76 m →
59 421 m²		 S 66.478208°
E 98.360596°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50673 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49135 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.773216247558594 y=0.749748229980469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.773216247558594 × 216)
    floor (0.773216247558594 × 65536)
    floor (50673.5)     		tx = 50673
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.749748229980469 × 216)
    floor (0.749748229980469 × 65536)
    floor (49135.5)     		ty = 49135
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50673 / 49135 ti = "16/50673/49135"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50673/49135.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50673 ÷ 216
    50673 ÷ 65536     		x = 0.773208618164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49135 ÷ 216
    49135 ÷ 65536     		y = 0.749740600585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.773208618164062 × 2 - 1) × π
    0.546417236328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.71662038
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.749740600585938 × 2 - 1) × π
    -0.499481201171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.56916647216292
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71662038} λ = 1.71662038}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56916647216292))-π/2
    2×atan(0.208218666099606)-π/2
    2×0.205285489291945-π/2
    0.41057097858389-1.57079632675     		φ = -1.16022535
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71662038} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.355103°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16022535 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.476016°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50673 KachelY 49135 1.71662038 -1.16022535 98.355103 -66.476016
    Oben rechts KachelX + 1 50674 KachelY 49135 1.71671625 -1.16022535 98.360596 -66.476016
    Unten links KachelX 50673 KachelY + 1 49136 1.71662038 -1.16026361 98.355103 -66.478208
    Unten rechts KachelX + 1 50674 KachelY + 1 49136 1.71671625 -1.16026361 98.360596 -66.478208
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16022535--1.16026361) × R
    3.82599999999567e-05 × 6371000     		dl = 243.754459999724m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16022535--1.16026361) × R
    3.82599999999567e-05 × 6371000     		dr = 243.754459999724m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71662038-1.71671625) × cos(-1.16022535) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.399132917687706 × 6371000     		do = 243.785504728062m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71662038-1.71671625) × cos(-1.16026361) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.399097837066471 × 6371000     		du = 243.764077913648m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16022535)-sin(-1.16026361))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.399132917687706-0.399097837066471)×R²
    abs(1.71671625-1.71662038)×3.5080621235084e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.5080621235084e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.5080621235084e-05×40589641000000     		ar = 59421.1926269213m²