Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50672 / 49254
↖ ↑ ↗
← S 66.735563°
E 98.349609°		 ← 241.27 m → S 66.735563°
E 98.355103°		 →
↑
241.21 m
↓
↑
241.21 m
↓
S 66.737732°
E 98.349609°		 ← 241.25 m →
58 194 m²		 S 66.737732°
E 98.355103°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50672 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49254 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.773200988769531 y=0.751564025878906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.773200988769531 × 216)
    floor (0.773200988769531 × 65536)
    floor (50672.5)     		tx = 50672
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751564025878906 × 216)
    floor (0.751564025878906 × 65536)
    floor (49254.5)     		ty = 49254
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50672 / 49254 ti = "16/50672/49254"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50672/49254.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50672 ÷ 216
    50672 ÷ 65536     		x = 0.773193359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49254 ÷ 216
    49254 ÷ 65536     		y = 0.751556396484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.773193359375 × 2 - 1) × π
    0.54638671875 × 3.1415926535     		Λ = 1.71652450
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.751556396484375 × 2 - 1) × π
    -0.50311279296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.58057545427249
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71652450} λ = 1.71652450}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58057545427249))-π/2
    2×atan(0.205856603052136)-π/2
    2×0.203020514329717-π/2
    0.406041028659434-1.57079632675     		φ = -1.16475530
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71652450} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.349609°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16475530 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.735563°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50672 KachelY 49254 1.71652450 -1.16475530 98.349609 -66.735563
    Oben rechts KachelX + 1 50673 KachelY 49254 1.71662038 -1.16475530 98.355103 -66.735563
    Unten links KachelX 50672 KachelY + 1 49255 1.71652450 -1.16479316 98.349609 -66.737732
    Unten rechts KachelX + 1 50673 KachelY + 1 49255 1.71662038 -1.16479316 98.355103 -66.737732
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16475530--1.16479316) × R
    3.78600000001672e-05 × 6371000     		dl = 241.206060001065m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16475530--1.16479316) × R
    3.78600000001672e-05 × 6371000     		dr = 241.206060001065m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71652450-1.71662038) × cos(-1.16475530) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.394975356914369 × 6371000     		do = 241.271281334512m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71652450-1.71662038) × cos(-1.16479316) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.394940574962967 × 6371000     		du = 241.250034728021m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16475530)-sin(-1.16479316))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.394975356914369-0.394940574962967)×R²
    abs(1.71662038-1.71652450)×3.47819514011083e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.47819514011083e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.47819514011083e-05×40589641000000     		ar = 58193.5327641375m²