Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 50672 / 49008
↖ ↑ ↗
← S 66.196009°
E 98.349609°		 ← 246.55 m → S 66.196009°
E 98.355103°		 →
↑
246.49 m
↓
↑
246.49 m
↓
S 66.198226°
E 98.349609°		 ← 246.52 m →
60 769 m²		 S 66.198226°
E 98.355103°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50672 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49008 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.773200988769531 y=0.747810363769531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.773200988769531 × 216)
    floor (0.773200988769531 × 65536)
    floor (50672.5)     		tx = 50672
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.747810363769531 × 216)
    floor (0.747810363769531 × 65536)
    floor (49008.5)     		ty = 49008
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50672 / 49008 ti = "16/50672/49008"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50672/49008.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50672 ÷ 216
    50672 ÷ 65536     		x = 0.773193359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49008 ÷ 216
    49008 ÷ 65536     		y = 0.747802734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.773193359375 × 2 - 1) × π
    0.54638671875 × 3.1415926535     		Λ = 1.71652450
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.747802734375 × 2 - 1) × π
    -0.49560546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.55699049965942
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71652450} λ = 1.71652450}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55699049965942))-π/2
    2×atan(0.21076942834485)-π/2
    2×0.207729009803561-π/2
    0.415458019607122-1.57079632675     		φ = -1.15533831
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71652450} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.349609°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15533831 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.196009°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50672 KachelY 49008 1.71652450 -1.15533831 98.349609 -66.196009
    Oben rechts KachelX + 1 50673 KachelY 49008 1.71662038 -1.15533831 98.355103 -66.196009
    Unten links KachelX 50672 KachelY + 1 49009 1.71652450 -1.15537700 98.349609 -66.198226
    Unten rechts KachelX + 1 50673 KachelY + 1 49009 1.71662038 -1.15537700 98.355103 -66.198226
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15533831--1.15537700) × R
    3.86900000000079e-05 × 6371000     		dl = 246.49399000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15533831--1.15537700) × R
    3.86900000000079e-05 × 6371000     		dr = 246.49399000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71652450-1.71662038) × cos(-1.15533831) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.403609026724576 × 6371000     		do = 246.545171315905m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71652450-1.71662038) × cos(-1.15537700) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.403573627720569 × 6371000     		du = 246.523547781917m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15533831)-sin(-1.15537700))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.403609026724576-0.403573627720569)×R²
    abs(1.71662038-1.71652450)×3.53990040065089e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.53990040065089e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.53990040065089e-05×40589641000000     		ar = 60769.2379651552m²