Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 50667 / 49221
↖ ↑ ↗
← S 66.663859°
E 98.322143°		 ← 241.97 m → S 66.663859°
E 98.327637°		 →
↑
241.97 m
↓
↑
241.97 m
↓
S 66.666036°
E 98.322143°		 ← 241.95 m →
58 548 m²		 S 66.666036°
E 98.327637°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50667 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49221 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.773124694824219 y=0.751060485839844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.773124694824219 × 216)
    floor (0.773124694824219 × 65536)
    floor (50667.5)     		tx = 50667
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751060485839844 × 216)
    floor (0.751060485839844 × 65536)
    floor (49221.5)     		ty = 49221
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50667 / 49221 ti = "16/50667/49221"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50667/49221.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50667 ÷ 216
    50667 ÷ 65536     		x = 0.773117065429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49221 ÷ 216
    49221 ÷ 65536     		y = 0.751052856445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.773117065429688 × 2 - 1) × π
    0.546234130859375 × 3.1415926535     		Λ = 1.71604513
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.751052856445312 × 2 - 1) × π
    -0.502105712890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.57741161889757
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71604513} λ = 1.71604513}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57741161889757))-π/2
    2×atan(0.206508930839757)-π/2
    2×0.203646241598248-π/2
    0.407292483196495-1.57079632675     		φ = -1.16350384
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71604513} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.322143°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16350384 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.663859°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50667 KachelY 49221 1.71604513 -1.16350384 98.322143 -66.663859
    Oben rechts KachelX + 1 50668 KachelY 49221 1.71614101 -1.16350384 98.327637 -66.663859
    Unten links KachelX 50667 KachelY + 1 49222 1.71604513 -1.16354182 98.322143 -66.666036
    Unten rechts KachelX + 1 50668 KachelY + 1 49222 1.71614101 -1.16354182 98.327637 -66.666036
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16350384--1.16354182) × R
    3.7980000000104e-05 × 6371000     		dl = 241.970580000663m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16350384--1.16354182) × R
    3.7980000000104e-05 × 6371000     		dr = 241.970580000663m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71604513-1.71614101) × cos(-1.16350384) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.396124753252362 × 6371000     		do = 241.973391789242m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71604513-1.71614101) × cos(-1.16354182) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.396089879856004 × 6371000     		du = 241.952089323464m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16350384)-sin(-1.16354182))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.396124753252362-0.396089879856004)×R²
    abs(1.71614101-1.71604513)×3.48733963581593e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.48733963581593e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.48733963581593e-05×40589641000000     		ar = 58547.8646781062m²