Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50667 / 49220
↖ ↑ ↗
← S 66.661683°
E 98.322143°		 ← 241.99 m → S 66.661683°
E 98.327637°		 →
↑
241.97 m
↓
↑
241.97 m
↓
S 66.663859°
E 98.322143°		 ← 241.97 m →
58 553 m²		 S 66.663859°
E 98.327637°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50667 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49220 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.773124694824219 y=0.751045227050781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.773124694824219 × 216)
    floor (0.773124694824219 × 65536)
    floor (50667.5)     		tx = 50667
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751045227050781 × 216)
    floor (0.751045227050781 × 65536)
    floor (49220.5)     		ty = 49220
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50667 / 49220 ti = "16/50667/49220"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50667/49220.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50667 ÷ 216
    50667 ÷ 65536     		x = 0.773117065429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49220 ÷ 216
    49220 ÷ 65536     		y = 0.75103759765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.773117065429688 × 2 - 1) × π
    0.546234130859375 × 3.1415926535     		Λ = 1.71604513
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75103759765625 × 2 - 1) × π
    -0.5020751953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.57731574509833
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71604513} λ = 1.71604513}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57731574509833))-π/2
    2×atan(0.206528730584656)-π/2
    2×0.203665231426453-π/2
    0.407330462852906-1.57079632675     		φ = -1.16346586
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71604513} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.322143°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16346586 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.661683°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50667 KachelY 49220 1.71604513 -1.16346586 98.322143 -66.661683
    Oben rechts KachelX + 1 50668 KachelY 49220 1.71614101 -1.16346586 98.327637 -66.661683
    Unten links KachelX 50667 KachelY + 1 49221 1.71604513 -1.16350384 98.322143 -66.663859
    Unten rechts KachelX + 1 50668 KachelY + 1 49221 1.71614101 -1.16350384 98.327637 -66.663859
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16346586--1.16350384) × R
    3.7979999999882e-05 × 6371000     		dl = 241.970579999248m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16346586--1.16350384) × R
    3.7979999999882e-05 × 6371000     		dr = 241.970579999248m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71604513-1.71614101) × cos(-1.16346586) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.396159626077318 × 6371000     		do = 241.994693905978m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71604513-1.71614101) × cos(-1.16350384) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.396124753252362 × 6371000     		du = 241.973391789242m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16346586)-sin(-1.16350384))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.396159626077318-0.396124753252362)×R²
    abs(1.71614101-1.71604513)×3.48728249557895e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.48728249557895e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.48728249557895e-05×40589641000000     		ar = 58553.0192054627m²