Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50666 / 48838
↖ ↑ ↗
← S 65.816282°
E 98.316650°		 ← 250.22 m → S 65.816282°
E 98.322143°		 →
↑
250.25 m
↓
↑
250.25 m
↓
S 65.818532°
E 98.316650°		 ← 250.20 m →
62 615 m²		 S 65.818532°
E 98.322143°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50666 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48838 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.773109436035156 y=0.745216369628906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.773109436035156 × 216)
    floor (0.773109436035156 × 65536)
    floor (50666.5)     		tx = 50666
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.745216369628906 × 216)
    floor (0.745216369628906 × 65536)
    floor (48838.5)     		ty = 48838
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50666 / 48838 ti = "16/50666/48838"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50666/48838.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50666 ÷ 216
    50666 ÷ 65536     		x = 0.773101806640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48838 ÷ 216
    48838 ÷ 65536     		y = 0.745208740234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.773101806640625 × 2 - 1) × π
    0.54620361328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.71594926
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.745208740234375 × 2 - 1) × π
    -0.49041748046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.5406919537886
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71594926} λ = 1.71594926}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5406919537886))-π/2
    2×atan(0.214232810922645)-π/2
    2×0.211042751898154-π/2
    0.422085503796308-1.57079632675     		φ = -1.14871082
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71594926} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.316650°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14871082 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.816282°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50666 KachelY 48838 1.71594926 -1.14871082 98.316650 -65.816282
    Oben rechts KachelX + 1 50667 KachelY 48838 1.71604513 -1.14871082 98.322143 -65.816282
    Unten links KachelX 50666 KachelY + 1 48839 1.71594926 -1.14875010 98.316650 -65.818532
    Unten rechts KachelX + 1 50667 KachelY + 1 48839 1.71604513 -1.14875010 98.322143 -65.818532
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14871082--1.14875010) × R
    3.92799999999749e-05 × 6371000     		dl = 250.25287999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14871082--1.14875010) × R
    3.92799999999749e-05 × 6371000     		dr = 250.25287999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71594926-1.71604513) × cos(-1.14871082) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.409663818124747 × 6371000     		do = 250.217649922094m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71594926-1.71604513) × cos(-1.14875010) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.409627985156324 × 6371000     		du = 250.195763583219m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14871082)-sin(-1.14875010))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.409663818124747-0.409627985156324)×R²
    abs(1.71604513-1.71594926)×3.58329684233549e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.58329684233549e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.58329684233549e-05×40589641000000     		ar = 62614.9489682038m²