Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 50661 / 49125
↖ ↑ ↗
← S 66.454081°
E 98.289185°		 ← 244 m → S 66.454081°
E 98.294678°		 →
↑
243.95 m
↓
↑
243.95 m
↓
S 66.456275°
E 98.289185°		 ← 243.98 m →
59 520 m²		 S 66.456275°
E 98.294678°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50661 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49125 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.773033142089844 y=0.749595642089844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.773033142089844 × 216)
    floor (0.773033142089844 × 65536)
    floor (50661.5)     		tx = 50661
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.749595642089844 × 216)
    floor (0.749595642089844 × 65536)
    floor (49125.5)     		ty = 49125
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50661 / 49125 ti = "16/50661/49125"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50661/49125.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50661 ÷ 216
    50661 ÷ 65536     		x = 0.773025512695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49125 ÷ 216
    49125 ÷ 65536     		y = 0.749588012695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.773025512695312 × 2 - 1) × π
    0.546051025390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.71546989
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.749588012695312 × 2 - 1) × π
    -0.499176025390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.56820773417052
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71546989} λ = 1.71546989}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56820773417052))-π/2
    2×atan(0.208418388971177)-π/2
    2×0.205476905354959-π/2
    0.410953810709918-1.57079632675     		φ = -1.15984252
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71546989} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.289185°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15984252 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.454081°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50661 KachelY 49125 1.71546989 -1.15984252 98.289185 -66.454081
    Oben rechts KachelX + 1 50662 KachelY 49125 1.71556576 -1.15984252 98.294678 -66.454081
    Unten links KachelX 50661 KachelY + 1 49126 1.71546989 -1.15988081 98.289185 -66.456275
    Unten rechts KachelX + 1 50662 KachelY + 1 49126 1.71556576 -1.15988081 98.294678 -66.456275
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15984252--1.15988081) × R
    3.82899999999964e-05 × 6371000     		dl = 243.945589999977m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15984252--1.15988081) × R
    3.82899999999964e-05 × 6371000     		dr = 243.945589999977m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71546989-1.71556576) × cos(-1.15984252) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.399483902607446 × 6371000     		do = 243.999882024494m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71546989-1.71556576) × cos(-1.15988081) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.399448800331989 × 6371000     		du = 243.978441983946m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15984252)-sin(-1.15988081))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.399483902607446-0.399448800331989)×R²
    abs(1.71556576-1.71546989)×3.5102275456389e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.5102275456389e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.5102275456389e-05×40589641000000     		ar = 59520.0800859291m²