Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 50660 / 49253
↖ ↑ ↗
← S 66.733393°
E 98.283692°		 ← 241.27 m → S 66.733393°
E 98.289185°		 →
↑
241.27 m
↓
↑
241.27 m
↓
S 66.735563°
E 98.283692°		 ← 241.25 m →
58 208 m²		 S 66.735563°
E 98.289185°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50660 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49253 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.773017883300781 y=0.751548767089844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.773017883300781 × 216)
    floor (0.773017883300781 × 65536)
    floor (50660.5)     		tx = 50660
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751548767089844 × 216)
    floor (0.751548767089844 × 65536)
    floor (49253.5)     		ty = 49253
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50660 / 49253 ti = "16/50660/49253"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50660/49253.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50660 ÷ 216
    50660 ÷ 65536     		x = 0.77301025390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49253 ÷ 216
    49253 ÷ 65536     		y = 0.751541137695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77301025390625 × 2 - 1) × π
    0.5460205078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.71537402
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.751541137695312 × 2 - 1) × π
    -0.503082275390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.58047958047325
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71537402} λ = 1.71537402}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58047958047325))-π/2
    2×atan(0.205876340252894)-π/2
    2×0.20303944905769-π/2
    0.40607889811538-1.57079632675     		φ = -1.16471743
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71537402} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.283692°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16471743 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.733393°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50660 KachelY 49253 1.71537402 -1.16471743 98.283692 -66.733393
    Oben rechts KachelX + 1 50661 KachelY 49253 1.71546989 -1.16471743 98.289185 -66.733393
    Unten links KachelX 50660 KachelY + 1 49254 1.71537402 -1.16475530 98.283692 -66.735563
    Unten rechts KachelX + 1 50661 KachelY + 1 49254 1.71546989 -1.16475530 98.289185 -66.735563
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16471743--1.16475530) × R
    3.78699999998844e-05 × 6371000     		dl = 241.269769999263m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16471743--1.16475530) × R
    3.78699999998844e-05 × 6371000     		dr = 241.269769999263m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71537402-1.71546989) × cos(-1.16471743) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.395010147486387 × 6371000     		do = 241.267367110576m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71537402-1.71546989) × cos(-1.16475530) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.394975356914369 × 6371000     		du = 241.246117454676m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16471743)-sin(-1.16475530))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.395010147486387-0.394975356914369)×R²
    abs(1.71546989-1.71537402)×3.47905720187724e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.47905720187724e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.47905720187724e-05×40589641000000     		ar = 58207.9587282281m²