Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50658 / 49122
↖ ↑ ↗
← S 66.447497°
E 98.272705°		 ← 244.06 m → S 66.447497°
E 98.278198°		 →
↑
244.07 m
↓
↑
244.07 m
↓
S 66.449692°
E 98.272705°		 ← 244.04 m →
59 567 m²		 S 66.449692°
E 98.278198°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50658 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49122 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772987365722656 y=0.749549865722656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772987365722656 × 216)
    floor (0.772987365722656 × 65536)
    floor (50658.5)     		tx = 50658
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.749549865722656 × 216)
    floor (0.749549865722656 × 65536)
    floor (49122.5)     		ty = 49122
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50658 / 49122 ti = "16/50658/49122"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50658/49122.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50658 ÷ 216
    50658 ÷ 65536     		x = 0.772979736328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49122 ÷ 216
    49122 ÷ 65536     		y = 0.749542236328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772979736328125 × 2 - 1) × π
    0.54595947265625 × 3.1415926535     		Λ = 1.71518227
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.749542236328125 × 2 - 1) × π
    -0.49908447265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.5679201127728
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71518227} λ = 1.71518227}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5679201127728))-π/2
    2×atan(0.208478343181167)-π/2
    2×0.205534362989278-π/2
    0.411068725978556-1.57079632675     		φ = -1.15972760
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71518227} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.272705°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15972760 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.447497°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50658 KachelY 49122 1.71518227 -1.15972760 98.272705 -66.447497
    Oben rechts KachelX + 1 50659 KachelY 49122 1.71527814 -1.15972760 98.278198 -66.447497
    Unten links KachelX 50658 KachelY + 1 49123 1.71518227 -1.15976591 98.272705 -66.449692
    Unten rechts KachelX + 1 50659 KachelY + 1 49123 1.71527814 -1.15976591 98.278198 -66.449692
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15972760--1.15976591) × R
    3.83099999998748e-05 × 6371000     		dl = 244.073009999203m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15972760--1.15976591) × R
    3.83099999998748e-05 × 6371000     		dr = 244.073009999203m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71518227-1.71527814) × cos(-1.15972760) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.399589251754166 × 6371000     		do = 244.06422799489m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71518227-1.71527814) × cos(-1.15976591) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.399554132902516 × 6371000     		du = 244.042777829806m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15972760)-sin(-1.15976591))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.399589251754166-0.399554132902516)×R²
    abs(1.71527814-1.71518227)×3.51188516499734e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.51188516499734e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.51188516499734e-05×40589641000000     		ar = 59566.8730638566m²