Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50656 / 49121
↖ ↑ ↗
← S 66.445302°
E 98.261719°		 ← 244.09 m → S 66.445302°
E 98.267212°		 →
↑
244.07 m
↓
↑
244.07 m
↓
S 66.447497°
E 98.261719°		 ← 244.06 m →
59 572 m²		 S 66.447497°
E 98.267212°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50656 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49121 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772956848144531 y=0.749534606933594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772956848144531 × 216)
    floor (0.772956848144531 × 65536)
    floor (50656.5)     		tx = 50656
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.749534606933594 × 216)
    floor (0.749534606933594 × 65536)
    floor (49121.5)     		ty = 49121
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50656 / 49121 ti = "16/50656/49121"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50656/49121.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50656 ÷ 216
    50656 ÷ 65536     		x = 0.77294921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49121 ÷ 216
    49121 ÷ 65536     		y = 0.749526977539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77294921875 × 2 - 1) × π
    0.5458984375 × 3.1415926535     		Λ = 1.71499052
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.749526977539062 × 2 - 1) × π
    -0.499053955078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.56782423897356
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71499052} λ = 1.71499052}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56782423897356))-π/2
    2×atan(0.208498331750162)-π/2
    2×0.205553518900853-π/2
    0.411107037801707-1.57079632675     		φ = -1.15968929
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71499052} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.261719°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15968929 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.445302°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50656 KachelY 49121 1.71499052 -1.15968929 98.261719 -66.445302
    Oben rechts KachelX + 1 50657 KachelY 49121 1.71508639 -1.15968929 98.267212 -66.445302
    Unten links KachelX 50656 KachelY + 1 49122 1.71499052 -1.15972760 98.261719 -66.447497
    Unten rechts KachelX + 1 50657 KachelY + 1 49122 1.71508639 -1.15972760 98.267212 -66.447497
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15968929--1.15972760) × R
    3.83100000000969e-05 × 6371000     		dl = 244.073010000617m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15968929--1.15972760) × R
    3.83100000000969e-05 × 6371000     		dr = 244.073010000617m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71499052-1.71508639) × cos(-1.15968929) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.399624370019357 × 6371000     		do = 244.085677801772m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71499052-1.71508639) × cos(-1.15972760) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.399589251754166 × 6371000     		du = 244.06422799489m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15968929)-sin(-1.15972760))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.399624370019357-0.399589251754166)×R²
    abs(1.71508639-1.71499052)×3.51182651905368e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.51182651905368e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.51182651905368e-05×40589641000000     		ar = 59572.1084271146m²