Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50653 / 49391
↖ ↑ ↗
← S 67.031019°
E 98.245239°		 ← 238.35 m → S 67.031019°
E 98.250732°		 →
↑
238.34 m
↓
↑
238.34 m
↓
S 67.033163°
E 98.245239°		 ← 238.33 m →
56 805 m²		 S 67.033163°
E 98.250732°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50653 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49391 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772911071777344 y=0.753654479980469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772911071777344 × 216)
    floor (0.772911071777344 × 65536)
    floor (50653.5)     		tx = 50653
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.753654479980469 × 216)
    floor (0.753654479980469 × 65536)
    floor (49391.5)     		ty = 49391
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50653 / 49391 ti = "16/50653/49391"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50653/49391.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50653 ÷ 216
    50653 ÷ 65536     		x = 0.772903442382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49391 ÷ 216
    49391 ÷ 65536     		y = 0.753646850585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772903442382812 × 2 - 1) × π
    0.545806884765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.71470290
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.753646850585938 × 2 - 1) × π
    -0.507293701171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.59371016476839
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71470290} λ = 1.71470290}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59371016476839))-π/2
    2×atan(0.203170415930909)-π/2
    2×0.200442169770735-π/2
    0.40088433954147-1.57079632675     		φ = -1.16991199
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71470290} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.245239°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16991199 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.031019°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50653 KachelY 49391 1.71470290 -1.16991199 98.245239 -67.031019
    Oben rechts KachelX + 1 50654 KachelY 49391 1.71479877 -1.16991199 98.250732 -67.031019
    Unten links KachelX 50653 KachelY + 1 49392 1.71470290 -1.16994940 98.245239 -67.033163
    Unten rechts KachelX + 1 50654 KachelY + 1 49392 1.71479877 -1.16994940 98.250732 -67.033163
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16991199--1.16994940) × R
    3.74100000000155e-05 × 6371000     		dl = 238.339110000099m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16991199--1.16994940) × R
    3.74100000000155e-05 × 6371000     		dr = 238.339110000099m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71470290-1.71479877) × cos(-1.16991199) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.390232718057222 × 6371000     		do = 238.349371643204m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71470290-1.71479877) × cos(-1.16994940) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.390198273788991 × 6371000     		du = 238.328333505422m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16991199)-sin(-1.16994940))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.390232718057222-0.390198273788991)×R²
    abs(1.71479877-1.71470290)×3.44442682302937e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.44442682302937e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.44442682302937e-05×40589641000000     		ar = 56805.4700077458m²