Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50652 / 49419
↖ ↑ ↗
← S 67.090966°
E 98.239746°		 ← 237.76 m → S 67.090966°
E 98.245239°		 →
↑
237.77 m
↓
↑
237.77 m
↓
S 67.093105°
E 98.239746°		 ← 237.74 m →
56 529 m²		 S 67.093105°
E 98.245239°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50652 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49419 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772895812988281 y=0.754081726074219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772895812988281 × 216)
    floor (0.772895812988281 × 65536)
    floor (50652.5)     		tx = 50652
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.754081726074219 × 216)
    floor (0.754081726074219 × 65536)
    floor (49419.5)     		ty = 49419
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50652 / 49419 ti = "16/50652/49419"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50652/49419.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50652 ÷ 216
    50652 ÷ 65536     		x = 0.77288818359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49419 ÷ 216
    49419 ÷ 65536     		y = 0.754074096679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77288818359375 × 2 - 1) × π
    0.5457763671875 × 3.1415926535     		Λ = 1.71460703
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.754074096679688 × 2 - 1) × π
    -0.508148193359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.59639463114711
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71460703} λ = 1.71460703}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59639463114711))-π/2
    2×atan(0.202625743185121)-π/2
    2×0.199919033323878-π/2
    0.399838066647755-1.57079632675     		φ = -1.17095826
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71460703} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.239746°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17095826 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.090966°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50652 KachelY 49419 1.71460703 -1.17095826 98.239746 -67.090966
    Oben rechts KachelX + 1 50653 KachelY 49419 1.71470290 -1.17095826 98.245239 -67.090966
    Unten links KachelX 50652 KachelY + 1 49420 1.71460703 -1.17099558 98.239746 -67.093105
    Unten rechts KachelX + 1 50653 KachelY + 1 49420 1.71470290 -1.17099558 98.245239 -67.093105
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17095826--1.17099558) × R
    3.73200000001184e-05 × 6371000     		dl = 237.765720000754m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17095826--1.17099558) × R
    3.73200000001184e-05 × 6371000     		dr = 237.765720000754m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71460703-1.71470290) × cos(-1.17095826) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.389269186844713 × 6371000     		do = 237.760858562591m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71460703-1.71470290) × cos(-1.17099558) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.389234810224402 × 6371000     		du = 237.73986174333m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17095826)-sin(-1.17099558))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.389269186844713-0.389234810224402)×R²
    abs(1.71470290-1.71460703)×3.4376620311527e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.4376620311527e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.4376620311527e-05×40589641000000     		ar = 56528.8855691521m²