Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50650 / 49191
↖ ↑ ↗
← S 66.598494°
E 98.228760°		 ← 242.59 m → S 66.598494°
E 98.234253°		 →
↑
242.61 m
↓
↑
242.61 m
↓
S 66.600676°
E 98.228760°		 ← 242.57 m →
58 851 m²		 S 66.600676°
E 98.234253°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50650 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49191 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772865295410156 y=0.750602722167969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772865295410156 × 216)
    floor (0.772865295410156 × 65536)
    floor (50650.5)     		tx = 50650
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.750602722167969 × 216)
    floor (0.750602722167969 × 65536)
    floor (49191.5)     		ty = 49191
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50650 / 49191 ti = "16/50650/49191"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50650/49191.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50650 ÷ 216
    50650 ÷ 65536     		x = 0.772857666015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49191 ÷ 216
    49191 ÷ 65536     		y = 0.750595092773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772857666015625 × 2 - 1) × π
    0.54571533203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.71441528
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.750595092773438 × 2 - 1) × π
    -0.501190185546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.57453540492036
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71441528} λ = 1.71441528}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57453540492036))-π/2
    2×atan(0.20710374971618)-π/2
    2×0.204216664137531-π/2
    0.408433328275062-1.57079632675     		φ = -1.16236300
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71441528} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.228760°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16236300 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.598494°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50650 KachelY 49191 1.71441528 -1.16236300 98.228760 -66.598494
    Oben rechts KachelX + 1 50651 KachelY 49191 1.71451115 -1.16236300 98.234253 -66.598494
    Unten links KachelX 50650 KachelY + 1 49192 1.71441528 -1.16240108 98.228760 -66.600676
    Unten rechts KachelX + 1 50651 KachelY + 1 49192 1.71451115 -1.16240108 98.234253 -66.600676
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16236300--1.16240108) × R
    3.80799999999404e-05 × 6371000     		dl = 242.60767999962m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16236300--1.16240108) × R
    3.80799999999404e-05 × 6371000     		dr = 242.60767999962m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71441528-1.71451115) × cos(-1.16236300) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.397172010767039 × 6371000     		do = 242.587806762811m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71441528-1.71451115) × cos(-1.16240108) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.397137062780417 × 6371000     		du = 242.566460959996m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16236300)-sin(-1.16240108))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.397172010767039-0.397137062780417)×R²
    abs(1.71451115-1.71441528)×3.49479866219582e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.49479866219582e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.49479866219582e-05×40589641000000     		ar = 58851.0756739325m²