Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50650 / 49102
↖ ↑ ↗
← S 66.403558°
E 98.228760°		 ← 244.49 m → S 66.403558°
E 98.234253°		 →
↑
244.52 m
↓
↑
244.52 m
↓
S 66.405757°
E 98.228760°		 ← 244.47 m →
59 781 m²		 S 66.405757°
E 98.234253°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50650 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49102 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772865295410156 y=0.749244689941406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772865295410156 × 216)
    floor (0.772865295410156 × 65536)
    floor (50650.5)     		tx = 50650
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.749244689941406 × 216)
    floor (0.749244689941406 × 65536)
    floor (49102.5)     		ty = 49102
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50650 / 49102 ti = "16/50650/49102"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50650/49102.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50650 ÷ 216
    50650 ÷ 65536     		x = 0.772857666015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49102 ÷ 216
    49102 ÷ 65536     		y = 0.749237060546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772857666015625 × 2 - 1) × π
    0.54571533203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.71441528
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.749237060546875 × 2 - 1) × π
    -0.49847412109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.56600263678799
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71441528} λ = 1.71441528}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56600263678799))-π/2
    2×atan(0.208878478900285)-π/2
    2×0.205917801241557-π/2
    0.411835602483113-1.57079632675     		φ = -1.15896072
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71441528} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.228760°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15896072 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.403558°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50650 KachelY 49102 1.71441528 -1.15896072 98.228760 -66.403558
    Oben rechts KachelX + 1 50651 KachelY 49102 1.71451115 -1.15896072 98.234253 -66.403558
    Unten links KachelX 50650 KachelY + 1 49103 1.71441528 -1.15899910 98.228760 -66.405757
    Unten rechts KachelX + 1 50651 KachelY + 1 49103 1.71451115 -1.15899910 98.234253 -66.405757
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15896072--1.15899910) × R
    3.83799999998935e-05 × 6371000     		dl = 244.518979999321m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15896072--1.15899910) × R
    3.83799999998935e-05 × 6371000     		dr = 244.518979999321m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71441528-1.71451115) × cos(-1.15896072) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.400292128705758 × 6371000     		do = 244.493536640738m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71441528-1.71451115) × cos(-1.15899910) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.400256957455314 × 6371000     		du = 244.472054471111m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15896072)-sin(-1.15899910))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.400292128705758-0.400256957455314)×R²
    abs(1.71451115-1.71441528)×3.51712504441104e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.51712504441104e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.51712504441104e-05×40589641000000     		ar = 59780.6838038187m²